Урок 53. Комбинированные задачи

Поделиться:
Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №53. Комбинированные задачи.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Простейшие текстовые задачи, задачи с округлением с избытком, задачи на проценты, прикладные задачи с экономическим и физическим содержанием
  • Вероятность
  • Тождественные преобразования
  • Уравнения, неравенства, их системы, в том числе с параметрами
  • Свойства функции, исследование свойств функции с помощью производной

Глоссарий по теме урока

Определение

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. 

Определение

Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент,

у — зависимая переменная, значение функции

Определение

Предел отношения приращения значений функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, называется производной функции в точке.

Теорема

если производная функции, дифференцируемой на промежутке, положительна, то функция возрастает на этом промежутке

Теорема

если производная функции, дифференцируемой на промежутке, отрицательна, то функция убывает на этом промежутке

Определение

Пусть n — число всех исходов опыта, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, m – число благоприятных событию А исходов. Тогда вероятностью события А называется Урок 53. Комбинированные задачи

Теорема

Вероятность суммы любых двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Теорема

Вероятность совместного появления независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий Р(А⋅В)=Р(А)⋅Р(В)

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 271-307.

Дополнительная литература:

Ященко И. В. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов. М.: Издательство «Национальное образование», 2018. 256 с. 

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177.

Открытый банк заданий ФИПИ, Математика, профильный уровень http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Разбор решения неравенства

Решить неравенство:

Урок 53. Комбинированные задачи

Решение:

Найдем область определения данного неравенства. Она определяется системой:

Урок 53. Комбинированные задачи

Область определения неравенства: Урок 53. Комбинированные задачи.

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя:

Урок 53. Комбинированные задачи или Урок 53. Комбинированные задачи

x+3=1 Урок 53. Комбинированные задачи

x=-2 x=1

Корни знаменателя:

Урок 53. Комбинированные задачи

Урок 53. Комбинированные задачи

х=2

Расставим найденные точки на числовой прямой и определим знаки на каждом промежутке, выберем нужные промежутки со знаком +.

Нанесем область определения.

Урок 53. Комбинированные задачиЗапишем найденный ответ: Урок 53. Комбинированные задачи

Ответ: Урок 53. Комбинированные задачи

2. Разбор решения уравнения с параметром

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение Урок 53. Комбинированные задачи не имеет корней.

Разберем аналитический способ решения уравнения.

Данное уравнение (обозначим его (1)) равносильно системе

Урок 53. Комбинированные задачи

Уравнение (1) не имеет корней тогда и только тогда, когда не имеет решений полученная система. Это возможно в двух случаях:

1) квадратное уравнение (3) не имеет корней;

2) корни уравнения (3) не удовлетворяют условию (2).

Найдем все значения а, при которых выполним хотя бы один случай:

1) уравнение Урок 53. Комбинированные задачи не имеет коней, если D<0:

Урок 53. Комбинированные задачи;

2) корни уравнения Урок 53. Комбинированные задачи меньше 1, если его больший корень меньше 1:

Урок 53. Комбинированные задачи

Объединяя множества значений а, найденные для обоих случаев, получим Урок 53. Комбинированные задачи

Ответ: Урок 53. Комбинированные задачи.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Решите неравенство

Урок 53. Комбинированные задачи

Решение:

Решим неравенство методом интервалов, для начала перенесем 1 в правую часть Урок 53. Комбинированные задачи.

Представим Урок 53. Комбинированные задачи и приведем к общим знаменателям Урок 53. Комбинированные задачи.

Сделаем замену Урок 53. Комбинированные задачи Урок 53. Комбинированные задачи

Найдем корни числителя t=9

Найдем корни знаменателя t=1, t=10

Урок 53. Комбинированные задачи

t<1, t>10, t=9

Перейдем к исходной переменной Урок 53. Комбинированные задачи, Урок 53. Комбинированные задачи

Основание показательных неравенств и уравнения больше единицы, значит, x<1, x> log310, x=2.

Ответ: (−∞, 0)∪{2}∪(log310, +∞)

2. При каких значениях параметра а система уравнений

Урок 53. Комбинированные задачи

имеет четыре решения?

Решение

Первое уравнение системы определяет две непересекающиеся (расстояние между центрами больше суммы радиусов) окружности с радиусами 3 и 1:

Урок 53. Комбинированные задачи (2)

Следовательно, система будет иметь 4 решения в том и только том случае, когда прямая, определяемая вторым уравнением, имеет с каждой окружностью по 2 точки пересечения.

Выразим из второго уравнения y=ax- 4a- 2

и подставим в уравнения (2), получим квадратные уравнения:

(a2+1)x2-2(4a2+9a)x+(16a2+72a+72)=0 (3)

(a2+1)x2-2(4a2+5a+4)x+(16a2+40a+40)=0 (4)

Чтобы обеспечить 4 решения полученные квадратные уравнения должны иметь положительный дискриминант.

Для (3) Урок 53. Комбинированные задачи и для (4) Урок 53. Комбинированные задачи

Решения неравенств

Урок 53. Комбинированные задачи

Урок 53. Комбинированные задачи и

Урок 53. Комбинированные задачи

Пересечение полученных множеств дает искомое множество значений параметра а Урок 53. Комбинированные задачи.

Ответ: Урок 53. Комбинированные задачи