Урок 6. Прямая и обратная пропорциональность

Конспект урока

Математика

6 класс

Урок № 6

Прямая и обратная пропорциональность

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости.
• Краткая запись условия задачи.
• Составление и решение пропорций по условию задачи.

Тезаурус

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Прямая пропорциональность

Пусть ручка стоит пять рублей, составим таблицу для нахождения стоимости от одной до семи ручек.

Из таблицы видно, что пять ручек стоят в пять раз больше, чем одна ручка. Говорят, что стоимость покупки прямо пропорциональна количеству купленных ручек.

Стоимость покупки прямо пропорциональна количеству купленных ручек.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Задача.

Цена двух ручек 10 руб. Сколько нужно заплатить за пятнадцать таких же ручек?

Решение.

Стоимость покупки прямо пропорциональна количеству ручек.

Запишем кратко условие задачи:

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение её крайних членов разделить на известный средний член пропорции:

Ответ: 15 ручек стоят 75 рублей.

Обратная пропорциональность

На 600 рублей хотят купить несколько одинаковых коробок конфет. Зависимость количества купленных коробок конфет от цены одной коробки задана в таблице:

С увеличением цены за одну коробку в несколько раз количество коробок конфет, которые можно купить, уменьшается во столько же раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Задача.

Грузовая машина, двигаясь со скоростью 60 километров в час, доезжает от одного города до другого за 3 часа. За сколько часов это же расстояние преодолеет легковой автомобиль, если его скорость 90 километров в час?

Решение.

При постоянном пути скорость и время движения обратно пропорциональны.

Запишем кратко условие задачи:

Ответ: легковой автомобиль преодолеет расстояние между городами за 2 часа.

Свойство прямо пропорциональных величин.

Отношение прямо пропорциональных величин всегда остаётся неизменным.

Величину этого отношения называют коэффициентом прямой пропорциональности.

5 – коэффициент прямой пропорциональности.

Свойство обратно пропорциональных величин: произведение обратно пропорциональных величин всегда остаётся неизменным.

100 руб. · 6 коробок = 200 руб. · 3 коробки = 600 руб. · 1 коробку = 600

60 км/ч · 3 ч = 90 · 2 ч = 180

Задача.

Между двумя городами расстояние равно 32 км. На карте отрезок между ними равен 2 см. Найдите масштаб карты.

Решение.

Расстояние на местности и отрезок на карте – прямо пропорциональная зависимость.

Обозначим х см на местности отрезок в 1 см на карте.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Единичный выбор.

Для решения задачи нужно понять какая происходит зависимость между величинами. Зависимость между массой и объёмом прямо пропорциональная. Составим пропорцию и найдём её неизвестный член.

Ответ: 60 г.

№ 2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в текст.

Решение.

Зависимость между расходом угля и периодом, на который этого угля хватит, – обратно пропорциональная. То есть чем больше мы сжигаем угля в день, тем на меньшее количество дней нам этого угля хватит.

Обратная пропорциональность: