Урок 7. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора

Конспект
Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.
Положение вектора на плоскости задаётся его координатами. Для определения координат вектора нужно уметь раскладывать данный по координатным векторам.
Покажем, что любой вектор можно разложить по неколлинеарным векторам.
Но сначала рассмотрим лемму о коллинеарных векторах. Такие вектора могут быть либо сонаправленны, либо противоположно направлены.
Рассмотрим каждый случай.
Докажем первый случай, когда векторы a и b сонаправлены.
Возьмем число k равное отношению длин заданных векторов: k = |b ⃗|/|a ⃗|
Так как k неотрицательное число, то: |ka ⃗| = |k| ∙ |a ⃗| = |b ⃗|/|a ⃗| ∙ |a ⃗| = |b ⃗|
Следовательно, эти векторы равны: |b ⃗| = |ka ⃗|
Рассмотрим второй случай, когда векторы а и b противоположно направлены.
Возьмем число k равное отношению длин этих векторов со знаком минус:
k = -|b ⃗|/|a ⃗|
Так как k число отрицательное, то векторы снова сонаправлены. Также убеждаемся в том, что их длины равны:
Поэтому векторы равны:
Лемма доказана.
Теперь докажем, что любой вектор может быть разложен по двум неколлинеарным векторам.
Формулировка теоремы звучит так: на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Докажем сначала, что любой вектор p можно разложить по векторам а и b
Возможны два случая:
1) Вектор р коллинеарен одному из векторов а и b, например вектору b.
Тогда по лемме о коллинеарных векторах вектор p можно представить в виде, где y некоторое число.
И, следовательно, вектор p разложен по векторам а и b
2) Вектор р не коллинеарен ни вектору а, ни вектору b.
Тогда мы отметим какую-нибудь точку О и отложим от нее неколлинеарные векторы, равные данным векторам

Введем для векторов обозначения:
— вектор OB равен вектору b
— вектор ОР равен вектору р
— вектора ОА равен вектору а
Через точку Р проведем прямую, параллельную прямой ОВ. Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой ОА точкой А1. По правилу треугольника вектор р можно представить в виде суммы векторов ОА1 и А1Р. Так как векторы ОА1 и А1Р коллинеарны соответственно векторам а и b.
Следовательно, любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам
(p) ⃗ = (ОА1) ⃗+ (А1 Р) ⃗
(ОА1) ⃗= ха ⃗
(А1 Р) ⃗= уb ⃗
p ⃗= xa ⃗+ yb ⃗
Далее мы докажем, что коэффициенты разложения x и y определяются единственным образом.
Допустим, что существует другое разложение вектора p и запишем новые коэффициенты разложения обозначив их с индексом 1.
p ⃗= xa ⃗+ yb ⃗
p ⃗= x1 a ⃗+ y1 b ⃗
Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем p ⃗- p ⃗= (xa ⃗+ yb ⃗) — (x1 a ⃗+ y1 b ⃗)
0 ⃗= xa ⃗+ yb ⃗- x1 a ⃗- y1 b ⃗
0 ⃗= (x — x1)a ⃗+ (y — y1)b ⃗
Выразим один из векторов. Например, вектор а: a ⃗= -(y — y1)/(x — x1) b ⃗
Это значит, что векторы а и b коллинеарны.
Но это противоречит условию теоремы. То есть коэффициенты определяются единственным образом и теорема доказана.
Введем понятие координаты вектора c помощью прямоугольной системы координат и рассмотрим правила, позволяющие находить сумму, разность и произведение вектора на число по координатам векторов, без геометрически построений.
Отложим от начала координат единичные векторы.
Эти векторы называются координатными векторами.
Координатные векторы не коллинеарны, поэтому любой вектор p можно разложить по координатным векторам единственным образом. Координаты вектора записываются в фигурных скобках после обозначения вектора: p ⃗{4; 3}
Рассмотрим правила сложения, вычитания и умножения вектора на число по координатам векторов.
Первое правило – правило сложения: каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов
Докажем это утверждение. Пусть векторы а и b заданы своими координатами:
а ⃗{х1; у1}
b ⃗{х2; у2}
Это значит, что разложение данных векторов по координатным осям выглядит следующим образом:
а ⃗= х1 i ⃗+ y1 j ⃗
b ⃗= х2 i ⃗+ y2 j ⃗
Используя свойства сложения и умножения вектора на число получим:
а ⃗+ b ⃗= х1 i ⃗+ y1 j ⃗+ х2 i ⃗+ y2 j ⃗= (х1 + х2)i ⃗ + (y1 + y2)j ⃗
Это и значит, что координаты вектора а плюс b, равны сумме соответствующих координат: а ⃗+ b ⃗{х1 + х2; y1 + y2}
Утверждение о том, что каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, доказывается аналогично.
а ⃗{х1; у1}
b ⃗{х2; у2}
а ⃗- b ⃗{х1 — х2; y1 — y2}
И последнее правило – правило определения координат вектора при умножении его на число, звучит следующим образом: каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
а ⃗{х; у}
(kа) ⃗{kх; kу}