Урок 71. Десятичные дроби. Занимательные задачиКонспект урока
Математика
6 класс
Урок № 71
Десятичные дроби. Занимательные задачи
Перечень рассматриваемых вопросов:
– десятичные дроби, проценты;
– текстовые задачи, логические задачи.
Тезаурус
Округление десятичной дроби – замена десятичной дроби приближённым значением с меньшим количеством значащих цифр.
Десятичная дробь – это дробь, записанная в десятичной форме.
Процент – сотая часть величины.
Список литературы
Обязательная литература:
1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
В жизни нам часто приходится решать задачи, требующие не только умения правильно выполнять арифметические действия, но и умения логически мыслить, выстраивать цепочку рассуждений, делать правильные выводы. Чтобы развить эти важные качества мышления, и дети, и взрослые решают специальные логические задачи. Рассмотрим некоторые из них.
Задача
Весы находятся в равновесии. С левой стороны на весах лежат три груши и одно яблоко. С правой стороны –гиря 20г, две груши и два яблока. Определите массу одного яблока, если известно, что все фрукты вместе весят 740 г.
Решение
Так как весы находятся в равновесии, составим равенство.
Г + Г + Г + Я = 20 + Г + Г + Я + Я
Справа и слева вычеркнем одинаковые компоненты, так как их масса одинакова.
Г + Г + Г + Я = 20 + Г + Г + Я + Я
Получим, что масса груши равна массе яблока и ещё 20 граммам, то есть масса груши на 20 граммов больше массы яблока.
Г = 20 + Я
Так как масса всех фруктов 740 граммов, составим равенство, в котором сложим массы всех фруктов, заменив грушу на полученное выражение. Груш у нас всего 5 штук, а яблок 3.
5 · (20 + Я) + 3 · Я = 740
Раскроем скобки.
100 + 5Я + 3Я = 740
Приведём подобные слагаемые и решим уравнение.
100 + 8Я = 740
8Я = 740 – 100
8Я = 640
Я = 640 : 8
Я = 80
Получим, что яблоко весит 80 граммов.
Ответ: 80 г.
Задача
5 сомов весят на 10 кг больше восьми налимов. Но при этом пять сомов весят на 20 кг меньше десяти налимов. Сколько весит один сом и один налим?
Решение
Пусть С – масса сома (в кг), Н – масса налима (в кг)
Запишем условие задачи в виде двух равенств.
5С – 10 = 8Н
5С + 20 = 10Н
Выразим массу пяти сомов из первого и второго равенств.
5С = 8Н + 10
5С = 10Н – 20
Приравняем правые части.
8Н + 10 = 10Н – 20
30 = 2Н
30 : 2 = 15 (кг) – масса налима.
Подставим массу налима в любое из верхних равенств.
5С – 10 = 8 · 15
5С – 10 = 120
5С = 120 + 10
5С = 130
С = 130 : 5
С = 26
Ответ: налим весит 15 кг, сом весит 26 кг.
Задача
Дыня весила 15 кг. В ней содержалось 90 % воды. Через несколько дней она усохла, и содержание воды снизилось до 84 %. Сколько теперь весит дыня?
Если первоначально в дыне содержалось 90 процентов воды, значит сухого вещества было 10 процентов.
100 % – 90 % = 10 % – сухого вещества в дыне.
Найдём, сколько это в килограммах.
10 % = 0,1
15 кг · 0,1 = 1,5 кг – сухого вещества в дыне.
После того, как дыня усохла, сухое вещество стало составлять 16 процентов.
100 % – 84 % = 16 %
То есть полтора килограмма это 16 процентов.
1,5 кг = 16 %
Найдём массу дыни после усушки.
16 % = 0,16
1,5 кг : 0,16 = 9,375 кг
Ответ: дыня теперь весит 9,375 кг.
Задача
Бегемотик за весну похудел на 30 %, потом поправился за лето на 20 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму его вес увеличился на 30%. Похудел или поправился бегемотик за год? На сколько процентов изменился его вес?
Решение
Поскольку нет информации об изменениях веса бегемотика в килограммах, а речь идёт только о процентах, то первоначальный вес бегемотика можно принять за любое удобное для вычислений количество килограммов.
Пусть первоначальный вес бегемотика 100 килограммов.
Найдём, как изменился его вес весной.
30 % = 0,3
100 · 0,3 = 30 (кг) – изменение веса.
100 – 30 = 70 (кг) – стал весить бегемотик после весны.
Теперь рассмотрим изменения за лето. 20 % будем высчитывать от новой массы.
20 % = 0,2
70 · 0,2 = 14 (кг) – изменение веса.
70 + 14 = 84 (кг) – стал весить бегемотик после лета.
Рассмотрим изменения в следующем периоде, осенью. Известно, что бегемотик похудел на 20 %.
84 · 0,2 = 16,8 (кг) – изменение веса.
84 – 16,8 = 67,2 (кг) – стал весить после осени.
И, наконец, последнее изменение веса – прибавил 30 %.
67,2 · 0,3 = 20,16 (кг) – изменение веса.
67,2 + 20,16 = 87,36 (кг) – стал весить бегемотик.
На первый вопрос задачи мы уже можем ответить –бегемотик похудел.
Чтобы ответить на второй вопрос, нужно сначала найти, на сколько килограммов похудел бегемотик.
100 – 87,36 = 12,64 (кг) – разница в весе.
Теперь найдём, сколько процентов это составляет от первоначальной массы бегемотика.
12,64 кг : 100 кг · 100 % = 12,64 %
Таким образом, мы определили, на сколько процентов изменился вес бегемотика.
Ответ: бегемотик похудел на 12,64 %
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1. Зачёркивание элементов
Выберите и зачеркните неверные ответы из предложенных.
450
445
420
На коробке с мукой написано: «Масса нетто 400 г при влажности 11 %». Какова масса муки, если она хранится при влажности 20 %?
Решение
При влажности 11 % сухой продукт составляет
100 % – 11 % = 89 % = 0,89
Таким образом, масса сухого продукта
400 · 0,89 = 356 (г).
При влажности 20 % на сухой продукт остаётся
100 % – 20 % = 80 % = 0,8
При увеличении влажности воздуха масса сухого остатка не изменится, но теперь она составляет не 0,89, а 0,8 массы коробки с мукой. Пусть x – масса коробки с мукой при влажности 20 %. Составим пропорцию:
356 : x = 0,8 : 1.
Решим пропорцию.
Получаем:
x = 356 : 0,8,
x = 445.
Ответ: 450; 445; 420
Тит 2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Впишите соответствующее число.
Если производительность труда повысится на 60 %, то время выполнения задания уменьшится на … %.
Решение. Пусть за 1 единицу времени делали 100 деталей. Тогда при увеличении производительности на 60 % за 1 единицу времени будут делать 160 деталей.
Пусть x – это время, за которое будут делать 100 деталей при новой производительности.
1 ед. времени – 160 дет.
x ед. времени – 100 дет.
Зависимость между количеством изготовленных деталей и временем на их изготовление – прямая пропорциональная (чем больше количество деталей, тем больше время на их изготовление).
Составим пропорцию:
Решим пропорцию:
1 · 100 = x · 160;
x = 1 · 100 : 160;
x = 0,625.
Выразим десятичную дробь в процентах:
0,625 = 62,5 %.
То есть время изготовления 100 деталей при новой производительности труда – это 62,5 % от первоначального. Нам нужно узнать, на сколько процентов уменьшилось время выполнения задания.
Получаем:
100 % – 62,5 % = 37,5 %.
Ответ: время выполнения задания уменьшится на 37,5 %.