Конспект урока
Алгебра
7 класс
Урок № 8
Иррациональные числа. Понятие действительного числа.
Сравнение действительных чисел
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Иррациональные числа.
- Понятие действительного числа.
- Абсолютная величина (модуль) числа.
- Сравнение действительных чисел.
Тезаурус:
Число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, называют рациональным.
Бесконечная периодическая десятичная дробь – это бесконечная дробь, у которой одна цифра или группа цифр повторяются. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.
Число, которое можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональным числом.
Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами.
Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Рассмотрим положительную бесконечную непериодическую дробь 0,10110111011110…
После запятой записаны группы единиц, разделённые нулём. Эта дробь не может быть десятичным разложением какого – либо рационального числа.
Её называют иррациональным (нерациональным) числом.
Иррациональное число – бесконечная непериодическая десятичная дробь.
Примеры иррациональных чисел:
0,010010001…
-17,1234567…
Самое знаменитое иррациональное число π = 3,1415926…
Понятие действительного числа:
Рациональные и иррациональные числа называют действительными.
Таким образом, любое действительное число можно представить в виде бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.
Если дробь периодическая – число рациональное.
Если дробь непериодическая – число иррациональное.
Число, образованное цифрами до запятой, называют целой частью, после запятой дробной частью.
Для записи произвольной бесконечной десятичной дроби, отличной от нуля, пользуются буквами:
α0,α1 α2 α3… αn…, причем хотя бы одна из цифр отлична от нуля.
Противоположные числа
Противоположные числа отличаются только знаками:
α0, α1, α2, α3,… αn…, и — α0,α1, α2, α3,… αn…,
Обозначают: а, если а положительное число,
-а, если а отрицательное число.
Абсолютная величина числа (модуль) числа
Абсолютной величиной числа (модулем) действительного числа называют:
- само число а, если а – положительное
- 0, если а = 0
- число -а, если а – отрицательное число.
Обозначается: а, если а > 0,
|а| = 0, если а = 0,
-а, если а < 0.
Примеры:
а = 0,10110111… |а| = 0,10110111…
b = -2,1234567…… |b| = 2,1234567…
c = 0,(0) |c| = 0
Сравнение действительных чисел.
Правило 1.
Два действительных числа равны, если они имеют одинаковые знаки и их абсолютные величины имеют одинаковые целые и дробные части.
Правило 2.
Отрицательное число меньше 0 и меньше любого положительного числа.
Число 0 меньше любого положительного числа.
Правило 3.
Если целые части положительных чисел разные, то больше то, у которого целая часть больше.
Если целые части положительных чисел одинаковые, то больше то, у которого цифра в наименьшем разряде дробной части больше.
Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше.
Сравнение чисел обозначают с помощью знаков: > = <
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Задача 1.
Изобразите числовые множества с помощью кругов Эйлера.
Определите, какому множеству принадлежат числа: 2,(3) и 2,1234?
Решение:
Число 2,(3) принадлежит множествам рациональных и действительных чисел.
Число 2,1234 принадлежит множествам иррациональных и действительных чисел.
Задача 2.
Сравните числа:
- 0,(27) > 0,2727, т. к. 0,(27) = 0,272727…
- -3,(5) < -3,(4), т. к. абсолютная величина первого числа меньше.
- 8,273273 > 8,(27), т. к. 8,273 и 8,272, первая отличная цифра в третьем разряде больше.