Урок 8. Основное свойство дроби. Сокращение дробейТема: Основное свойство дроби. Сокращение дробей
Содержание модуля (краткое изложение модуля):
Основное свойство дроби — если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби при этом не изменится
a/b = ac/bc,
где a, b, c – натуральные числа
Основное свойство дроби выполняется не только для натуральных, но и для любых значений переменных, при которых знаменатель дроби не равен нулю
a/b = ac/bc,
где a, b, c – любые числа,
b ≠ 0, c ≠ 0.
Рассмотрим пример: 1/5 . Умножим числитель и знаменатель дроби на отрицательное число
(1 • (-2))/(5 • (-2)) = (- 2)/(-10) = 2/10
Равенство верно и в том случае, если на месте переменных в формуле основного свойства дроби находятся многочлены, причём в знаменателе должны быть – ненулевые многочлены
a/b = ac/bc,
где
a, b, c – многочлены,
b и c – ненулевые многочлены.
Основное свойство рациональной дроби:
если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Пример
(x + 1)/(x — 4)
умножим данную в условии дробь на один и тот же многочлен
(x + 1)/(x — 4) = ((x + 1)(x — 2))/((x — 4)(x — 2)) — верно для всех x, кроме x = 2 и x = 4
Тождество – это равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных.
На практике основное свойство рациональной дроби полезно в следующих случаях:
— для приведения рациональных дробей к новому знаменателю;
— для сокращения рациональных дробей.
Пример 1.
Требуется привести дробь (x)/(2y) к знаменателю 6y2
Решение:
Исходную дробь умножим на дополнительный множитель
(x • 3y)/(2y • 3y)=(3yx)/(6y2)
ОТВЕТ. Получена дробь, равная исходной и имеющая заданный знаменатель.
Пример 2.
Найти значение дроби (x3 — 8)/(x2 + 2x + 4) при x = 17
(x3 — 8)/(x2 + 2x + 4) =
= ((x — 2)(x2 + 2x + 4))/(x2 + 2x + 4) =
= ((x — 2)(x2 + 2x + 4))/(x2 + 2x + 4) =
= x — 2
ОТВЕТ. Значение заданной дроби при x = 17 равно 15.
Пример 3.
Построить график функции y = (x3 — 9x)/(x2 + 3x)
y = (x3 — 9x)/(x2 + 3x) =
= (x(x2 — 9))/(x(x + 3)) =
= (x(x — 3)(x + 3))/(x(x + 3)) =
=(x(x — 3)(x + 3))/(x(x + 3)) =
= x — 3
Получено уравнение линейной функции.
Графиком такой функции является прямая, проходящая через точки с координатами (3; 0) и (0; -3).
(x3 — 9x)/(x2 + 3x) = x – 3 верно для всех допустимых значений переменных, то есть для всех x, кроме x = 0 и x = — 3
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.