Урок 8. Предел функции на бесконечностиКонспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №8. Предел функции на бесконечности.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1)понятие бесконечности;
2) определение предела функции на плюс бесконечности;
2) определение предела функции на минус бесконечности;
3) правила вычисления пределов функции на бесконечности;
4) формулы вычисления предела функции на бесконечности;
5) нахождение горизонтальные, вертикальные, наклонные асимптоты.
Глоссарий по теме
Бесконечность – сколь угодно большое(малое), безграничное число.
Дробно-рациональная функция – это такая алгебраическая дробь, у которой числитель и знаменатель представляют собой многочлены некоторой степени.
Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Понятие «бесконечность» используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характеристика чисел.
Бесконечность – сколь угодно большое(малое), безграничное число.
Если рассмотреть координатную плоскость, то ось абсцисс(ординат) уходит на бесконечность, если ее безгранично продолжать влево или вправо (вниз или вверх).
Теперь давайте перейдем к пределу функции на плюс и минус бесконечности.
Предел функции на плюс бесконечности.
Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч [a; +∞), и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:
Предел функции на минус бесконечности.
Посмотрим немного другой случай:
Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч (-∞; a], и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:
Предел функции на бесконечности.
Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:
Тогда принято записывать как: 
Для вычисления предела на бесконечности пользуются несколькими утверждениями.
Основные свойства:
- Для любого натурально числа m справедливо следующее соотношение:
- Если
и 
и 
а) Предел суммы равен сумме пределов:
б) Предел произведения равен произведению пределов:
в) Предел частного равен частному пределов:
г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
А теперь давайте перейдем к дробно — рациональной функции.
Дробно-рациональная функция – это такая алгебраическая дробь, у которой числитель и знаменатель представляют собой многочлены некоторой степени.
Дробно-линейная функция представляет собой частный случай дробно-рациональной функции.
Дробно-линейная функция – это такая алгебраическая дробь 
, у которой числитель и знаменатель представляют собой линейные функции.
Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую часть.
Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность.
x=a уравнение вертикальной асимптоты
y=b уравнение горизонтальной асимптоты
y=kx+b уравнение наклонной асимптоты
Перейдем к практической части.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример1. Вычислить пределы функций:
а)
б) 
в) 
г) 
Пример 2. Построим график функции 
.
Преобразуем функцию с выделением целой части:
.
Дробно-линейная функция имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.
y=2 горизонтальная асимптота
x=1 вертикальная асимптота, т.к. 
Точки пересечения графика с осями координат:
при x=0 y=3 , точка (0; 3)
при y=0 x=1,5 , точка (1,5; 0)
Пример 3
Построить график функции 
.
Преобразуем функцию с выделением целой части
- y=2x наклонная асимптота
x | 0 | 2 |
y | 0 | 4 |
X=0 вертикальная асимптота
функция ни четная, ни нечетная.
- точки пересечения графика с осями координат:
Приy=0
, точка 
с осью ординат график функции не пересекается, т.к. эта ось есть асимптота.
y’=0
xкр=1
6) y(1)=3
7) Построим график
