Урок 9. Предел функции в точке. Непрерывность функции

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №9. Предел функции в точке. Непрерывность функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. понятие непрерывной функции в точке;
2. понятие непрерывной функции на промежутке;
3. определение предела функции в точке;
4. правила вычисления пределов функции в точке.

Глоссарий по теме

Функциюy = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.

Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим функции, графики которых изображены на рисунках 1-3.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Воспользуемся построенными графиками функций. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее, это три разные функции.

Ответим на несколько вопросов, касаемых данных функций.

Чем они отличаются друг от друга?

Они отличаются друг от друга своим поведением в точке х = а.

Как ведет себя функция в точке х = а на первом графике?

Для функции у=f(х) при х = а значение функции не существует, функция в указанной точке не определена.

Как ведет себя функция в точке х = а на втором графике?

Для функции у=f(х) при х = а значение функции существует, но оно отличается от естественного значения функции в указанной точке.

Как ведет себя функция в точке х = а на третьем графике?

Для функции у=f(х) при х = а значение функции существует, и оно равно естественному значению функции в указанной точке, то есть b.

Если мы исключим точку х = а из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.

В общем случае эта запись выглядит следующим образом:.

Эту запись читаем так: «предел функции y=f(x) при стремлении х к а равен b».

А теперь ответим на такой вопрос: какую из трех рассмотренных функций естественно считать непрерывной в точке х = а?

Непрерывной будет третья функция.

Так как эта функция непрерывна, то она удовлетворяет условию И функцию f (x) называют непрерывной в точке х = а.

Иными словами, функцию y = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.

Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

При изучении различных функций (линейной, квадратичной, степенной, иррациональной, тригонометрических) мы отмечали, что они являются непрерывными либо на всей числовой прямой, либо на промежутке. Исходя из этого, можно сформулировать следующее утверждение: если выражение f (x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция y = f (x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (x).

Для вычисления предела функции в точке, как и для предела на бесконечности, используют правила «предел суммы», «предел произведения», «предел частного».

Правило 1. Предел суммы равен сумме пределов:

Правило 2. Предел произведения равен произведению пределов:

Правило 3. Предел частного равен частному пределов:

Перейдем к практической части.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Вычислить:

Решение:

выражение х3 – 2х2 + 5х +3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х3 – 2х2 + 5х + 3 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем:

.

Ответ: 7.

Пример 2. Используя правила, вычислим .

Решение: функция определена в любой точке , в частности, в точке х = 2. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = 2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению функции в точке х=2. Имеем:

Ответ: 0.

Пример 3. Вычислить.

Решение:

если подставить значение х = — 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить:

.

Значит, функции и тождественны при условии . Но при вычислении предела функции при саму точку х = — 3 можно исключить из рассмотрения. Значит,

Ответ: — 1,5.