Варианты 7 классВсОШ «Сириус» по Математике 15.10.2024 г. Москва
7 класс
Задание 1: Несколько мальчиков купили в магазине по 5 пачек печенья, а экономная девочка Таня купила меньше. В каждой пачке по 12 печений. У всех детей вместе оказалось 396 печений. Сколько пачек печенья купила Таня?
Задание 2: Четыре числа a, b, c и d таковы, что верна пропорция
Найдите произведение всех четырёх чисел.
Задание 3: Алёна, Полина и Маша хотели поиграть на игровых автоматах. Оказалось, что Алёне не хватает 40 рублей для оплаты четырёх игр, Полине 30 рублей для оплаты двух игр, а Маше 77 рублей для оплаты одной игры. Тогда они сложили свои деньги, и выяснилось, что у них 700 рублей на всех. Сколько стоит одна игра?
→ Узнать ответ
Задание 4: Тройняшкам Маше, Полине и Эрике подарили детскую музыкальную игрушку с 25 кнопочками, каждая из которых загорается при нажатии, а при повторном нажатии гаснет. Изначально ни одна из кнопок не горела. Сначала Маша нажала на 17 различных кнопок, потом Полина на 18, а Эрика на 20. В результате все кнопки загорелись. Сколько кнопок было нажато трижды?
Задание 5: Квадрат 7×7, показанный на рисунке, разрезан без остатка по линиям клеток
Найдите максимально возможное количество пятиклеточных фигурок, содержащих звёздочки (одну или больше). Фигурки можно поворачивать и переворачивать.
Задание 6: На балу присутствует не более 20 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 2/5 всех мужчин и 4/7 всех женщин. Сколько людей присутствует на балу?
Задание 7: Среди трёх друзей один выше всех по росту, другой старше всех, а третий самый хитрый. Самый высокий всегда говорит правду, самый старший всегда лжёт, а самый хитрый может иногда говорить правду, а иногда лгать. И Петя, и Вася сказали: «Я самый хитрый!», а Алёша добавил: «Петя выше самого хитрого из нас». Кто из ребят старше всех?
Алёша
Вася
Петя
Задание 8: В левой верхней клетке прямоугольной клетчатой поляны 10×12 сидят 7 жуков. За один ход один из жуков переползает на одну клетку вправо или на одну клетку вниз. Через несколько ходов все жуки собрались в правой нижней клетке. Найдите наименьшее количество клеток, не посещённых ни одним жуком.
8 класс
Задание 1: Аня нарисовала на плоскости квадрат и поделила верхнюю и нижнюю его стороны на 10 равных частей каждую. Затем она провела 11 прямых, соединяющих самую левую верхнюю точку с самой правой нижней, вторую слева верхнюю точку со второй справа нижней и так далее. После этого она поделила правую и левую стороны на 8 равных частей каждую и провела 7 горизонтальных прямых через точки деления. На сколько частей эти отрезки поделили квадрат?
На рисунке показан пример, когда сначала она провела 6 отрезков сверху вниз, а затем 3 горизонтальных.
Задание 2: Однажды утром 10 января Кот в сапогах обнаружил, что его вес стал на 20 % больше, чем был до новогодних праздников. Чтобы восстановить форму, Кот в сапогах сел на диету и вскоре обнаружил, что его вес уменьшился на 20 % по сравнению с весом 10 января и на 236 граммов по сравнению с весом до новогодних праздников. Сколько весил Кот в сапогах до новогодних праздников? Ответ выразите в килограммах.
Задание 3: Из клетчатого квадрата 11×11 вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 3 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну. Сколько клеток могло быть вырезано?
Задание 4: В кошельке лежит 1000 рублей одно‑, двух‑ и пятирублёвыми монетами. Известно, что общее число монет равно 300 и что монет каких‑то двух достоинств равное количество. Найдите это количество.
Задание 5: Сколько клетчатых прямоугольников, содержащих ровно одну закрашенную клетку, изображено на рисунке? Любой квадрат (в частности, сам квадрат 5×5) является прямоугольником.
Задание 6: В соревновании по настольному теннису участвовало ровно 58 школьников, среди которых половина рыцари, всегда говорящие правду, и половина лжецы, которые всегда лгут. По правилам турнира проигравший выбывал. В результате после нескольких игр ровно половина ребят выбыла. После этих событий каждый из оставшихся участников заявил, что выиграл ровно у одного рыцаря. Какое наибольшее количество рыцарей могло остаться среди участников турнира?
Задание 7: Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 2 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и увеличив ширину на 5. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани равны. Выберите все возможные значения периметра прямоугольника Даши:
50
52
54
100
206
Задание 8: Угол C треугольника ABC равен 60∘. На продолжении стороны BC за точку C выбрана точка D так, что DC+CA=BC. Оказалось, что ∠ADB=40∘. Найдите угол BAD. Ответ выразите в градусах.
9 класс
Задание 1: В зрительном зале расставили стулья в 20 рядов, по 11 в каждом из них. Стулья пронумерованы: сначала от 1 до 11 в первом ряду, потом от 12 до 22 во втором ряду и так далее. Зрителям выдали билеты на спектакль с указанием номера стула. В перерыве решили сделать 20 рядов по 14 стульев в каждом и пронумеровать: сначала от 1 до 14 в первом ряду, потом от 15 до 28 во втором и так далее; зрители сели согласно указанным в билете номерам. Сколько зрителей теперь оказалось в том же ряду, что первоначально?
Задание 2: На стороне AC треугольника ABC отмечена точка E. Известно, что ∠EBC=25∘, ∠BCA=32∘, ∠BAC=60∘. Точка D на плоскости такова, что AD∥BE. Какое наименьшее значение может принимать величина угла ∠DAB? Ответ выразите в градусах.
Задание 3: Жора задумал три натуральных числа a, b, c. Чему могут равняться a+b, b+c и c+a?
101, 209, 306
206, 305, 404
404, 504, 704
101, 202, 505
301, 302, 607
Задание 4: В турнире по боксу принимают участие 32 человека. Правила турнира таковы, что матч обязательно заканчивается победой одного из участников (т.е. ничьих не бывает). Турнир на выбывание: проигравший в каком‑то поединке участник выбывает и больше не принимает участие в соревнованиях. По окончании турнира выяснилось, что N участников провели на ринге не менее 7 матчей. При каком наибольшем N такое возможно?
Задание 5: Саша и Юра задумали по числу от 1 до 10, после чего Саша заявил: «Неважно, какое число ты задумал, в произведении наших чисел нет цифры 6». Юра ответил: «Тогда сумма наших чисел равна 14». Саша и Юра не ошибаются. Какое число задумал Юра?
Задание 6: Баба Яга готовит зелье. Рецепт подразумевает, что в зелье должны попасть:
- не более 5 лягушек (возможно, 0);
- чётное число волчьих зубов (возможно, 0);
- кратное шести число драконьих чешуек (возможно, 0);
- ровно 2025 ингредиентов.
Сколькими способами Баба Яга может приготовить зелье? Порядок добавления ингредиентов неважен.
Задание 7: Длины сторон AB и AD прямоугольника ABCD равны 16 и 27 соответственно. Пусть M середина стороны CD, и пусть K такая точка на плоскости, что A середина отрезка KM. Найдите площадь треугольника KBD.
Задание 8: Простое число p таково, что для любых a и b числа 11a+5b и a+4b или оба делятся на p, или оба не делятся. Чему может быть равно p? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
10 класс
Задание 1. Боковые грани пирамиды четыре равных равнобедренных треугольника. На этих гранях проведены отрезки, параллельные основанию, как показано на чертеже. Длины путей, отмеченные на чертежах красным, соответственно равны a, b и c.
Выберите верное утверждение:
a=b=c
b=c>a
b<c<a
a>b=c
Задание 2: Действительные числа x и y таковы, что
Какое наибольшее значение может принимать y?
Задание 3: На чертеже четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω. Прямая, проходящая через точку D и параллельная AB, пересекает ω в точке P. Известно, что ∠PDC=20∘, ∠DPB=85∘.
Найдите величину угла ∠ABC. Ответ выразите в градусах.
Задание 4: Натуральные числа a, b и c таковы, что НОД (a, b) =2 и НОД (b, c) =4. Чему может быть равен НОД (a, c)? Выберите все верные ответы:
1
2
3
6
12
Задание 5: У Жоры есть коробка конфет, в которой конфеты расположены прямоугольником 4×10 (4 строчки, 10 столбцов). Жора берёт по одной конфете, каждый раз выбирая из строки, в которой осталось максимальное количество конфет; если таких несколько из любой из них. Сколькими способами Жора мог съесть первые 5 конфет? Порядок поедания важен.
Задание 6: Прямая ℓ, пересекающая стороны AB и AC треугольника ABC, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть X и Y проекции точек B и C на прямую ℓ. Найдите длину отрезка XY, если AB=19, AC=24.
Задание 7: В стране 3 мегаполиса и 6 городков. Авиакомпания планирует расписание полётов между ними. Руководитель хочет, чтобы выполнялись следующие условия:
- от любого населённого пункта до любого другого можно добраться (прямым рейсом или с пересадками);
- если из пункта A есть рейс в пункт B, то и из пункта B есть рейс в пункт A;
- из двух мегаполисов можно улететь ровно в три населённых пункта, а из одного в четыре;
- из каждого городка можно улететь ровно в один населённый пункт.
Сколько существует способов организовать такое расписание?
Задание 8: Числа a1, a2, ……, a9 таковы, что
Какое наибольшее значение может принимать a1?
11 класс
Задание 1. Пете, Васе, Толе, Коле и Серёже выдали одинаковые наборы из четырёх карточек: 1, 5, 7, 8. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что произведение чисел на карточках простое число.
Задание 2: Если длину прямоугольного поля увеличить на 18м, а ширину увеличить на 10м, то его площадь увеличится на 8280м2. На сколько уменьшится площадь поля, если его длину уменьшить на 18м, а ширину уменьшить на 10м? Ответ выразите в квадратных метрах.
Задание 3: На сторонах правильного десятиугольника со стороной 2 отмечены две точки A и B. Чему может быть равна длина отрезка AB?
1
4
10
21
Задание 4: Какой остаток при делении на 128 даёт число 26⋅33⋅512⋅2310?
Задание 5: Каждое из чисел от 1 до 3912 записано чернилами одного из k цветов (каждый цвет встречается). Оказалось, что для каждого цвета количество чисел этого цвета равно наименьшему числу, записанному чернилами этого цвета. При каком наибольшем k это возможно?
Задание 6: Жора решил систему уравнений
Для каждого решения Жора посчитал, чему равно (x+y)2. Чему равна сумма всех чисел, посчитанных Жорой?
Задание 7: Три окружности радиусами 3, 6, 8 расположены так, что общая хорда пересечения любых двух окружностей является диаметром меньшей из них.
Найдите квадраты длин сторон треугольника, образованного центрами этих окружностей. Каждое число записывайте в отдельное поле в порядке возрастания.
Найдите квадрат площади треугольника, образованного центрами этих окружностей.
Задание 8. Пусть n>2024 натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2024 до n. За одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем самым уменьшая количество чисел на доске. Через некоторое время на доске останется только одно число. Сколько существует натуральных n<8000, для которых это число будет равно 0?
Официальные задания и ответы ВсОШ для 7, 8, 9, 10, 11 класса школьного этапа 2024/25 всероссийской олимпиады школьников ВсОШ по Математике г. Москва 15.10.2024 на официальном сайте МЭШ – school.mos.ru .