Вариант 10 классОлимпиада Взлет школьный этап Математике 10 класс
1. Коля и Алиса бегают наперегонки. В каждом забеге кто-то один выигрывает, а другой – проигрывает, причем вероятность победы Коли составляет 0,2. В случае, если Коля выигрывает два забега подряд, то в следующем он решает немножко поддаться, и гарантировано проигрывает. Какова вероятность, что Коля выиграет ровно три забега из четырёх?
2. В треугольнике ABC величина угла C в два раза больше величины угла A, AC = 16, BC = 9. Найдите AB.
3. Известно, что число a=1+√5/2 называют золотым числом, и оно является корнем уравнения x2−x−1=0 Найдите значение выражения a10−55a в численном виде.
4. На доске 7х8 расставляют несколько фишек. Две фишки считаются близко расположенными, если из клетки, занятой одной из них, можно прийти в клетку, занятую другой фишкой, за 1 или за 2 хода. Каждый ход – это либо перемещение в соседнюю по диагонали клетку, либо ход шахматного коня (буквой Г). Какое наибольшее число фишек можно расставить на такую доску, чтобы никакие две фишки не были близко расположенными?
5. На уроке алгебры Вася и Петя записали в своих тетрадях многочлен x2+4x+6. Затем Вася заменил в своём многочлене какой-то коэффициент на не равное ему целое число а, а Петя в своём многочлене заменил какой-то коэффициент на не равное ему целое число b. При этом a
было не равно b. После этого на доске они построили графики двух полученных многочленов. Оказалось, что эти графики пересекаются ровно в двух точках с абсциссами x=0 и x=1. Найдите модуль разности между числами a и b.
6. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. На прямой AB отметили точку K, симметричную точке A относительно точки B, и точку M — середину стороны BC. Найдите KM, если AB=3√3 и ∠BCA=30∘.
7. На доску выписали несколько последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них 52% нечётных, причем сумма всех выписанных нечётных чисел является квадратом, большим 200 и меньшим 2000. Найдите все варианты значений самого маленького числа.
1. Сколько вариантов ответа в этой задаче? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример:
2. Сколько всего чисел было записано на доску? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример:
3. Найдите самое маленькое из записанных чисел. В качестве ответа вводите натуральное число. Если вариантов ответа несколько, запишите их в порядке возрастания без пробелов, не используя никакие знаки препинания. Пример:
Ответы и задания на всероссийскую олимпиаду школьников ВСОШ школьного этапа для 10 класса по Математике в Московской области 50 регион на 28-30 сентября 2025 г.