Образовательная платформа
Библиотека конспектов — это место, где можно найти и прочитать конспекты на разные темы и по разным предметам. Здесь есть конспекты по математике, физике, химии, биологии, информатике, истории, обществознанию, литературе и другим предметам.
В библиотеке есть удобный поиск, где можно искать конспекты по ключевым словам или темам, а также сортировать их по популярности или дате добавления. Библиотека постоянно пополняется новыми конспектами и пользователи могут добавлять свои конспекты.
Соотношения между сторонами и углами треугольника Теорема синусов: a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R (R – радиус описанной окружности)Теорема косинусов: а2 = b2 + c2 — 2bc cos αПлощадь…
Покажем, как связано скалярное произведение векторов с их координатами. Докажем: a ⃗∙ b ⃗ = x1x2 + у1y2Доказательство:Выберем произвольную точку О и отложим от неё векторы (ОА) ⃗ и (ОВ)…
КонспектПусть нам даны два вектора a ⃗и b ⃗. Чтобы найти угол между ними, выберем произвольную точку О и отложим от неё векторы (ОА) ⃗ и (ОВ) ⃗, равные данным.…
КонспектЭлементами треугольника являются его стороны и углы. Решить треугольник – это найти его неизвестные элементы, по каким-нибудь трём данным элементам.Решим треугольник по двум сторонам и углу между ними. Дано: a,…
КонспектМы знаем, как определить вид треугольника, если известны его углы. Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше девяноста градусов). Прямоугольный треугольник…
Докажем, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.Выразим площадь треугольника ABC через стороны и синусы углов. S = 1/2 b c sinA, (1)S = 1/2 a с sin B. (2)S…
Мы знаем, как найти площадь треугольника, зная его сторону и высоту, проведённую к ней: S = 1/2 ahaТакже мы можем вычислить площадь треугольника, если известны три его стороны (формула Герона):…
КонспектНа координатной плоскости изобразим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Эта окружность задаётся следующим уравнением: x2 + y2 = 1Рассмотрим часть этой окружности – полуокружность, расположенную…
В прямоугольной системе координат Оху построим полуокружность, расположенную в первом и втором квадрантах, с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Из точки О проведём луч m, который пересекает…
КонспектЛюбой вектор на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.В прямоугольной системе координат для векторов выполняются следующие свойства.1. Каждая координата суммы двух или более…
Две окружности могут пересекаться, не пересекаться либо касаться друг друга.Перейдем к анализу возможных случаев расположения двух окружностей.Рассмотрим окружность с центром О1 и окружность с центром О2. Тогда расстояние между их…
КонспектВведём уравнение произвольной линии. В прямоугольной системе координат рассмотрим произвольную линию L. Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки…
Метод координат позволяет изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств. Одним из основных понятий этого метода является понятие координат вектора. Покажем связь между координатами вектора и…
КонспектОтрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.Положение вектора на плоскости задаётся его координатами. Для определения координат вектора…
Коллинеарные векторы Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Виды коллинеарных векторов Сонаправленные a ⃗ ↑↑ b ⃗ Противоположно…
В трапеции АВСD отрезки АD и ВC являются основаниями трапеции, а отрезки АВ и СD – боковыми сторонами.Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется её средней линией. Докажем, что средняя…
КонспектПредставим себе, что велосипедист движется прямолинейно с постоянной скоростью, мотоциклист движется в том же направлении со скоростью вдвое большей. Навстречу им, то есть в противоположном направлении, движется автомобиль, скорость которого…
КонспектРазностью векторов a ⃗ и b ⃗ называется такой вектор, сумма которого с вектором b ⃗ равна вектору a ⃗: a ⃗ — b ⃗ = c ⃗, если c…
КонспектРассмотрим ситуацию. Стартовав из пункта A, туристы прошли 4 километра на запад, а затем 3 километра на север. В результате этих двух перемещений туристы переместились из пункта А в пункт…
Некоторые физические величины, например, сила или скорость характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными: F ⃗ – сила, v ⃗ – скорость.Дадим геометрическое определение вектора.Вектором…
Напомним основные понятия и выводы теме «Окружность»Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку называется касательной к окружности.Общая точка прямой и окружности называется точкой касания. Отрезки касательных к окружности, проведенные…
Введем новое понятие: описанная окружность.Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность. На рисунке четырёхугольник MNKP вписан…
КонспектРассмотрим окружность с центром в точке O и некоторым радиусом Проведем к этой окружности несколько касательных, которые попарно пересекаются. Соединим точки пересечения касательных отрезками. Если все стороны многоугольника касаются некоторой…
КонспектВспомним определение: Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. AH – высота треугольника ABC.Из курса 7 класса, мы знаем, что в любом треугольнике можно…
КонспектРассмотрим отрезок АВ, найдем его середину, обозначим её точкой М. Через точку М проведём перпендикуляр к отрезку AВ. a — серединный перпендикуляр к ABСерединным перпендикуляром к отрезку АВ называется прямая,…
КонспектБиссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины и делящий угол пополам. AD — биссектриса угла BCAТеорема о биссектрисе углаТеорема: Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.Дано: ∠BAC, AD…
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.Свойства хорд окружностиТеорема: Радиус, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам. Дано: окружность с центром O, AB – хорда, OC ⊥ ABДоказать: AM…
Угол, вершина которого находится на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. ∠ABC – вписанный уголВписанный угол АВС опирается на дугу АС.Теорема о вписанном углеТеорема: Вписанный угол измеряется половиной…
Рассмотрим окружность с центром в точке O. Отметим на окружности две точки A и В. Они разделяют окружность на две дуги. Для того, чтобы различать эти дуги, на каждой из…
КонспектРассмотрим окружность с центром в точке О и прямую a, её не пересекающую.Расстояние от центра окружности до прямой равно длине перпендикуляра ОВ. Это расстояние больше радиуса окружности.Будем перемещать прямую, параллельно…