Урок 12. Производная степенной функции

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №12. Производная степенной функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• разбор понятия производной степенной функции;
• вычисление производной степенной функции;
• знакомство с правилами вычисления производных одночлена и многочлена.

Глоссарий по теме

Формула для вычисления производной степенной функции xn, где n – произвольное натуральное число, такова:

(xn) ‘ =nxn-1

Формула для вычисления производной степенной функции (kx+b)p:

((kx+b)p) ‘ = pk(kx+b)p

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Формула для вычисления производной степенной функции xn, где n – произвольное натуральное число, такова: (xn)’=nxn-1.

Нам уже известна формула производной функции х2: (x2)’=2x.

Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:

(x3) ‘ = (x2·x) ‘ = (x2) ‘ · x + x2 · (x) ‘ = 2x·x+x2·1 = 3×2;

(x4) ‘ = (x3·x) ‘ = (x3) ‘·x+x3·(x) ‘ = 3×2·x+x3·1 = 4×3.

Заметим, что

(x2) ‘ = 2×2-1

(x3) ‘ = 3×3-1

(x4)’=4×4-1

Т.е. для n, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для n, равного 5, 6 и т.д.

Пример 1.

Докажем что, , при .

Решение:

1. представим как х-1;
2. воспользуемся формулой (1): (х-1)’=-1·x-1-1=-x-2;
3. вернемся к первоначальному виду

.

В более сложных случаях, например, при нахождении производной функции (3х-1)7, можно воспользоваться следующей формулой:

((kx+b)p)’=pk(kx+b)p-1

Пример

Найдем производную функции (3х-1)7.

Решение:

воспользуемся формулой (2)

((3х-1)7)’=21(3x-1)6.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1

Вычислить f’(9), если .

Решение:

;

.

Пример 2

Доказать, что на промежутке:

1. x>0;
2. x<0.

Доказательство:

1. если x>0, то и по формуле (1) получаем:

.

1. если x<0, то и по формуле (2) получаем:

.