Конспект
Функция обратной пропорциональности
Графиком этой функции является гипербола.
Областью определения данной функции является всё множество чисел отличных от нуля.
Возьмём функцию , х > 0, k = 2
Обратим внимание, что при неограниченном возрастании положительных значений аргумента, сами значения функции убывают и стремятся к нулю.
Такая же ситуация происходит при неограниченном уменьшении аргумента функции, значения функции возрастают и стремятся к нулю.
x | 0,25 | 0,4 | 1 | 2 | 4 | 8 |
y | 8 | 5 | 2 | 1 | 0,5 | 0,25 |
х | –0,25 | –0,4 | –1 | –2 | –4 | –8 |
y | –8 | –5 | –2 | –1 | –0,5 | –0,25 |
При x > 0 и x → +∞, то y → 0; при x < 0 и x → –∞, то y → 0.
Обратим внимание на график.
При возрастании положительных значений аргумента x (x → +∞), значения функции y остаются положительными, но убывают и стремятся к нулю. График неограниченно приближается к оси x.
В этом случае говорят, что ось x является асимптотой графика функции.
Для функции при k > 0 ось абсцисс является асимптотой функции.
Асимптотой графика функции называется прямая линия, к которой приближаются бесконечно близко точки графика функции по мере их удаления в бесконечность.
Гипербола имеет еще одну асимптоту – ось ординат.
Ось ординат является асимптотой функции при k > 0.
Функция при k < 0 также будет иметь две асимптоты в виде осей х и y.
Дробно-линейная функция
Функция, в правой части которой представлена дробь с числителем в виде многочлена первой степени или числа отличного от нуля, а знаменатель является многочленом первой степени, называется дробно-линейной функцией.
Пример функции: .
Общий вид дробно-линейной функции
, где
х – переменная; a, b, c, d – произвольные числа.
Важно! с ≠ 0, ad – bc ≠ 0
Пояснение ограничений.
- • с = 0
. Получили линейную функцию.
• ad – bc ≠ 0
Рассмотрим на примере функции . 3 • 4 – 6 • 2 = 0.
– константа (число).
Правила параллельного переноса графиков функций
График функции y = f(x) + n → y = f(x), при n > 0 – вверх по оси y, n < 0 – вниз по оси y.
График функции y = f(x – m) → y = f(x – m), при m > 0 – вправо по оси x, m < 0 – влево по оси x.
График гиперболы можно переносить вдоль осей по схожему принципу.
Рассмотрим пример №1..
Произведём преобразования, приведём функцию к виду
.
.
Данный вид соответствует тому к которому надо было привести функцию: k = 9, m = 1, n = 3.
График, полученной нами функции можно получить с помощью двух параллельных переносов в соответствии со значениями m = 1 по оси x вправо и n = 3 по оси y вверх графика функции .
Функция . Т. к. это гипербола, т. е. имеет две ветви, то составим две таблицы значений.
x | 1 | 1,5 | 3 | 5 | 8 |
y | 9 | 6 | 3 | 1,8 | 1,1 |
x | –1 | –1,5 | –3 | –5 | –8 |
y | –9 | –6 | –3 | –1,8 | –1,1 |
Построим красным пунктиром асимптоты к нашей целевой функции, так как они тоже сдвинутся на значения m и n.
Т. е., выделив из дроби целую часть, мы нашли асимптоты будущего графика.
Выполним построение гиперболы по указанным значениям.
График функции
x | 0 | –0,5 | –2 | –4 | –9 |
y | –6 | –3 | 0 | 1,2 | 2,1 |
x | 2 | 2,5 | 4 | 6 | 9 |
y | 12 | 9 | 6 | 4,8 | 4 |
Рассмотрим пример №2.
Построить график функции .
Найдём асимптоты будущего графика функции.
.
k = 5; m = –1; n = –4.
Асимптоты будущего графика функции нужно сместить на 1 единицу влево по оси x и на 4 единицы вниз по оси y.
Определена «родительская» функция .
Выполним построение гиперболы по указанным значениям.
График функции
x | –0,5 | 0 | 1,5 | 4 | 9 |
y | 6 | 1 | –2 | –3 | –3,5 |
x | –11 | –6 | –3 | –2 | –1,5 |
y | –4,5 | –5 | –6,5 | –9 | –14 |
Выводы.
- • Любую дробно-линейную функцию вида можно представить в виде .
• Графиком дробно-линейной функции является гипербола, которую можно построить из гиперболы функции с помощью двух параллельных переносов.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.