Конспект
Неравенства, в одной части которых стоит квадратный трёхчлен, а в другой – нуль, называют неравенствами второй степени с одной переменной.
Для решения неравенств такого вида используют свойства квадратичной функции и её графика. А именно, нули функции и направление ветвей параболы.
Приведём пример. Решим неравенство 3x2 – 11x – 4 > 0.
Рассмотрим функцию y = 3x2 – 11x – 4. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при x2 равен 4, а 4 > 0.
Для того чтобы выяснить, пересекает ли парабола ось абсцисс и в каких точках, решим квадратное уравнение 3x2 – 11x – 4 = 0. Это уравнение имеет два корня: и 4.
Покажем схематически, как расположена парабола на координатной плоскости.
На оси абсцисс отметим нули функции, то есть те значения, которые мы получили при решении квадратного уравнения: и 4.
Так как ветви параболы направлены вверх, она будет расположена так.
Обратим внимание, что функция принимает положительные значения, когда или x ∈ (4; +∞), а отрицательные значения, когда .
Таким образом, множеством решений нашего неравенства будет .
Рассмотрим ещё один пример: x2 – 3x + 4 > 0.
Рассмотрим функцию y = x2 – 3x + 4. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Чтобы выяснить, как расположен график данной функции относительно оси абсцисс, решим квадратное уравнение x2 – 3x + 4 = 0.
Дискриминант этого уравнения меньше нуля, а значит, уравнение не имеет корней.
Значит, парабола не имеет общих точек с осью x. Изобразим схематически расположение параболы на координатной плоскости. Очевидно, что при любом значении переменной x функция принимает положительные значения.
Таким образом, решением рассматриваемого неравенства является любое число.