Тема: Квадратный корень из степени
Содержание модуля (краткое изложение модуля):
Теорема. Для любых x верно равенство:
√(x2) = |x|
Докажем теорему.
x ≥ 0
По определению арифметического квадратного корня: для x ≥ 0
√(x2) = x.
x<0, значит –x>0 тогда
√(x2) = √((-x)2) = —x
По определению модуля:
|x| = x при x ≥ 0
|x| = —x при x<0,
Значит для x<0
Для любых х выполняется равенство
√((-x)2) = |x|.
Пример 1.
Упростим выражение √(b8)
√(b8) = √((b4)2)
Пусть x = b4, тогда √((b4)2) = √((x)2) = |x| по теореме,
то есть √((b4)2) = |b4|.
Так как b4 ≥ 0 для любых b, то √((b4)2) = b4.
Пример 2.
Упростить выражение √(a14) при a<0
√(a14) = √((a7)2) = |a7|
При a<0
|a7|<0, значит √((a7)2) = |a7| = —a7
Пример 3.
Вычислим без помощи калькулятора √5 625
√(5 625) = √(54 • 32) = √((52)2 • 32) = √((52)2) • √(32) = √((52)2) • 3 = |52| • 3 = 52 • 3 = 25 • 3 = 75
Пример 4.
Упростим выражение √5 + √((√5-5)2)
√5 + √((√5-5)2) = √5 + |√5 — 5|
√5 ≈ 2,2, значит √5-5<0, значит по определению модуля получим:
|√5 — 5| = 5 — √5
Тогда:
√5 + √((√5-5)2) = √5 + |√5 — 5| = √5 + 5 — √5 = 5.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.