Урок 27. Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения

Тема: Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Квадратным уравнением будем называть уравнение вида
ax2 + bx + c = 0, где
х – переменная,
а, b и с – произвольные числа (коэффициенты квадратного уравнения), а ≠ 0.
Число а перед х2 – первый коэффициент;
число b перед х – второй коэффициент;
третье число c – свободный член.
Названия коэффициентов сохраняются, даже если слагаемые стоят в другом порядке.
3 — 4x2 — 1x = 0
Первый коэффициент равен –4, второй –1, свободный член равен 3.
7 + 9x2 = 0
Первый коэффициент равен 9, второй равен 0, свободный член равен 7.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х2 равен 1, называется приведённым квадратным уравнением.
x2 + 3x — 1 = 0
x2 — 5 = 0
x2 + 7x = 0
Если первый коэффициент квадратного уравнения отличается от 1, то путем деления обеих частей уравнения на этот коэффициент можно получить приведённое квадратное уравнение.
7x2 — 3x + 1 = 0 → x2 — 3/7 • x + 1/7 = 0
Коэффициент при х2 не может равняться нулю, иначе квадратное уравнение станет линейным.
Если хотя бы один из остальных коэффициентов будет равен 0, то в этом случае квадратное уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Три вида неполных квадратных уравнений:

1. b = 0, c ≠ 0, то ax2 + c = 0.
2. b ≠ 0, c = 0, то ax2 + bx = 0.
3. b = 0, c = 0, то ax2 = 0.

Решения уравнений таких видов
1. ax2 + c = 0
ax2 = —с; x2 = (-c)/a
если (-c)/a>0 → x1 = -√((-c)/a), x2 = √((-c)/a);
если (-c)/a<0 → решений нет.
Пример 1.
20x2 — 80 = 0; 20x2 = 80; x2 = 4
x1 = -√(80/20), x2 = √(80/20),
то есть x1 = -2, x2 = 2
Пример 2.
3x2 + 27 = 0; 3x2 = -27; x2 = -9. Решений нет
2. ax2 + bx = 0
x(ax + b) = 0, т.е. x = 0 или
ax + b = 0; ax = —b; x = (-b)/a, таким образом
x = 0 или x = (-b)/a.
Пример.
5x2 + 20x = 0;
x(5x + 20) = 0; x = 0 или
5x + 20 = 0; 5x = -20; x = -4.
3. ax2 = 0
x2 = 0 → x = 0
Пример.
3x2 — 6x + 8 = 0,5x2 + 20x + 8 = 0;
2,5x2 — 26x = 0.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.