Урок 28. Выделение полного квадрата

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 28

Выделение полного квадрата

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Квадрат суммы.
• Квадрат разности.
• Преобразование многочленов.
• Выделение полного квадрата.

Тезаурус:

и уметь увидеть их в выражении.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы познакомились с формулами сокращённого умножения и научились раскладывать по ним квадрат разности и квадрат суммы. На этом уроке вы узнаете, как выделить из многочлена полный квадрат.

Этот многочлен можно преобразовать следующим образом.

6а мы представим в виде удвоенного произведения двух множителей: 3 и a:

Далее применим формулу квадрата суммы для двучлена а +3.

Таким образом, получили равенство:

Представим 10у как удвоенное произведение 5 и у:

Применим формулу квадрата разности для двучлена

Выделение полного квадрата используется, например, при доказательстве неравенств или определения знака выражения. Например:

Доказать, что для любых чисел а и в верно неравенство

В левой части неравенства две переменных, поэтому разделим одночлены на две группы. Число 45 можно добавить в любую группу, например, в группу, где переменная b.

Сложим два полученных выражения. В результате получим сумму двух квадратов двучленов:

то и сумма этих выражений будет положительной либо равна нулю. Что и требовалось доказать.

Материал для углублённого изучения темы.

При выделении полного квадрата числа могут получаться не только целыми, но и дробными.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Объяснение: число 6 не является квадратом целого числа, поэтому удобнее вынести его за скобку:

2. Представьте выражение в виде суммы квадратов:

Объяснение: разделим выражение на две группы. Число 50 можем присоединить к любой группе, например к группе, где переменная m.

Получим сумму квадрата двучлена m + 5 и числа 25:

Во второй группе представим 10n как удвоенное произведение 5 и n, прибавим и вычтем 25:

Получим сумму квадрата двучлена n + 5 и числа -25: