Урок 31. Знаки синуса, косинуса и тангенса

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа

10 класс

Урок № 31

Знаки синуса, косинуса и тангенса

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса;

2) Зависимость знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса от положения точки, движущейся по тригонометрической окружности, от произвольного угла;

3) Знаки тригонометрического выражения.

Тезаурус

Число π (пи) – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,14.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Какие знаки имеют координаты точки в зависимости от их положения в системе координат?

У точек первой четверти x > 0; y > 0.

у точек второй четверти x < 0; y > 0;

у точек третьей четверти x< 0; y < 0;

у точек четвёртой четверти x > 0; y< 0.

Пример.

В какой координатной четверти находятся точки с указанными координатами

Ответ:

А если точка находится на тригонометрической окружности, то как узнать зависимость знака координат точки от угла поворота вокруг начала координат?

Сегодня на уроке мы узнаем знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, научимся определять положение точки на тригонометрической окружности в зависимости от комбинации знаков синуса и косинуса, тангенса и котангенса.

Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу.

Точка Р (1;0) при повороте вокруг начала координат на угол переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты.

Синусом угла α является ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α.

Косинусом угла α является абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α.

Если:

то точка Рₐ находится в первой четверти, здесь x > 0; y > 0, значит,

sin α > 0, cos α > 0

Точка Рₐ находится во второй четверти, здесь x < 0; y > 0, значит, sin α > 0; cos α < 0.

Если угол

то точка Рₐ находится в третьей четверти, здесь x < 0, y < 0, значит, sin α < 0, cos α < 0.

Если угол

то точка Рₐ находится в четвёртой четверти, здесь x> 0, y < 0, значит, sin α < 0, cos α > 0

На рисунке видно, какие знаки имеет синус, а какие косинус.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Определить знаки синуса и косинуса угла

Решение: Выясним, в какой четверти находится точка, полученная поворотом на угол

во второй четверти синусы положительны, косинусы отрицательны.

Ответ:

Пример 2. Определить знаки синуса и косинуса угла 800°.

Решение: Полный угол, при котором точка «обойдёт» всю окружность, равен 360°.

800° = 360° ∙ 2 + 80°, а это значит, что точка после 2 оборотов окажется в первой четверти, где синус и косинус положительны.

Ответ: sin 800° > 0, cos 800° > 0.

Пример 3.

Определить знаки синуса и косинуса угла .

Решение: Угол отрицательный, значит точка получена поворотом по часовой стрелке.

в 4 четверти синусы отрицательны, косинусы положительны.

Ответ: синус отрицательный, косинус положительный.

Пример 4.

Определить знаки sin 3 и cos 3.

Решение: Знаем, что, а .

Значит,

Точка во второй четверти.

Ответ: sin 3 > 0, cos 3 > 0.

Знаки тангенса и котангенса.

Тангенс – это отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс – это отношение косинуса угла к его синусу:.

Тангенс и котангенс будут положительными там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это первая и третья четверти. Синус и косинус имеют разные знаки во второй и четвёртой четвертях, здесь тангенс и котангенс будут отрицательны. На рисунке изображены знаки тангенса и котангенса.

Пример 5.

Определить знак тангенса угла 140°

Решение^

90° < 140° < 180°, угол во второй четверти

Ответ: tg 140° < 0.

Пример 6.

Определить знак тангенса угла .

Решение: Угол в третьей четверти, тангенс положительный.

Ответ:

Вывод: чтобы определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, нужно:

1. выяснить в какой координатной четверти находится угол;
2. знак синусов такой же, как ордината точки (у).
3. знак косинусов такой же, как абсцисса точки (х).
4. тангенсы и котангенсы положительны там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки (1ч. и 4ч.), отрицательны, где синус и косинус имеют противоположные знаки (2ч. и 3ч.).