Конспект урока
Алгебра
7 класс
Урок № 31
Куб суммы. Куб разности
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Формулы сокращённого умножения.
- Куб суммы. Куб разности.
- Разложение многочлена на множители.
- Тождественные преобразования.
- Вычисление значения числовых выражений.
Тезаурус:
Формулы сокращённого умножения.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Применение:
- упрощение умножения многочленов;
- разложение многочлена на множители;
- вычисление значения числового выражения;
- тождественные преобразования.
Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Куб суммы.
Рассмотрим произведение:
(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b).
Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:
a3 + 2a2b + b2a + a2b + 2ab2 + b 3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Итак, доказано равенство, которое называют «куб суммы»: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Читается так: «куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, плюс куб второго числа».
Куб разности.
Аналогично докажем формулу «куб разности».
Рассмотрим произведение:
(a – b)3 = (a – b)2(a – b) =(a2 – 2ab + b2)(a – b)
Применив правило умножения многочленов, получим:
a3 – 2a2b + b2a – a2b + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Доказано равенство, которое называют «куб разности»:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Читается так: «куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, минус куб второго числа».
Формулы суммы и разности кубов часто используют для упрощения выражений.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Задача 1.
Найдите куб двучлена:
(a + 3)3 = a3 + 3a2 · 3 + 3a · 32 + 33 = a3 + 9a2 + 27a + 27.
(10 – a)3 =103 – 3 · 102 a + 3 · 10 · a2 – a3 = 1000 – 300a + 30a2 – a3.
Задача 2.
Упростите: x3 + 3x(x + 4) – (x + 2)3
x3 + 3×2 + 12x – (x3 + 6×2 + 12x + 8) =
x3 + 3×2 + 12x – x3 – 6×2 – 12x – 8 =
= -3×2 – 8.
Ответ: -3×2 – 8.
Задача 3.
Решите уравнение:
x3 + 9×2 – (x + 3)3 = 0
x3 + 9×2 – (x3 + 9×2 + 27x + 27) = 0
x3 + 9×2 – x3 – 9×2 – 27x – 27 = 0
-27x = 27
Ответ: х = -1.