Урок 31. Сочетания без повторений. Бином Ньютона

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №31. Сочетания без повторений. Бином Ньютона

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие сочетания без повторения и их свойства;

2) правила подсчета числа сочетаний из n-элементов по m без повторений;

3) бином Ньютона;

4) треугольник Паскаля.

Глоссарий по теме

Сочетаниями из n элементов по m в каждом (m ≤ n) называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Число всевозможных сочетаний из n различных элементов по m элементов обозначают

Формула для подсчёта числа сочетаний:

Бином Ньютона – формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен.

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Общим термином «соединения» в комбинаторике называют три вида комбинаций, составляемых из некоторого числа различных элементов, принадлежащих одному и тому же множеству. Ранее уже рассматривались два вида комбинаций. Это перестановки и размещения. В данных соединениях важен порядок размещения элементов. В случае, когда этот порядок не важен, то мы имеем дело с сочетаниями.

Сочетаниями из n элементов по m в каждом (m ≤ n ) называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Иногда такие сочетания называют сочетаниями без повторений.

Число всевозможных сочетаний из из n элементов по m элементов обозначают

Формула для подсчёта числа сочетаний:

Используя данную формулу можно отметить основные свойства сочетаний.

Простейшие свойства сочетаний:

1)

2)

3)

Доказательства свойства сочетаний

1)

2)

3)

При возведении суммы или разности двух чисел во вторую или третью степень мы пользовались формулами сокращенного умножения, которые являются частным случаем бинома Ньютона.

Бином Ньютона – формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен.

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Для более простого подсчета коэффициентов Бинома Ньютона для невысоких степеней удобно пользоваться треугольником Паскаля:

По бокам в каждой строчки имеется коэффициент, равный единице. Все средние коэффициенты считаются, как сумма верхних, которые находятся над ними.

Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.

Не трудно заметить, что строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Это еще одно замечательное свойство треугольника Паскаля

Историческая справка

Исаак Ньютон (1642-1727 гг.) – выдающийся английский ученый, один из создателей классической физики. Биография Ньютона богата во всех смыслах этого слова. Он сделал немало открытий в области физики, астрономии, механике и математике. Ньютон является автором фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления, теорию цвета, заложил основы современной физической оптики, создал многие другие математические и физические теории.

А при чем же здесь бином Ньютона и биномиальные коэффициенты? Формула

была известна ещё индийским и исламским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени произвольное рациональное число (возможно, отрицательное).

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

В вазе лежат двенадцать конфет, четыре из которых шоколадные, а остальные карамель. Вы хотите угоститься, выбрав две шоколадные и три карамельные конфеты. Сколькими способами вы можете это сделать?

Решение :

Мы имеем два события. Это выбор шоколадных и выбор карамельных конфет. Порядок конфет не важен. Поэтому мы можем использовать формулу сочетания для каждого из событий. Так, как шоколадных конфет всего четыре, а выбрать мы хотим две, то это можно сделать способами .

1)

Теперь посчитаем количество выбора карамельных конфет. Их общее количество в вазе 12-4=8, а выбрать мы хотим три. Рассчитаем сочетание из восьми по три.

2)

События выбора разных видов конфет между собой независимы, поэтому по правилу умножения получаем

3)

Ответ: 336

Пример 2.

Представить разложение двучлена в n степени в виде многочлена, где n=0, 1, 2, …,5

Решение:

Первые четыре разложения мы хорошо умеем делать, используя формулы квадрата и куба разности.

А для представления бинома четвертой и пятой степени воспользуемся треугольником Паскаля.