Урок 34. Формулы сложения

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №34. Формулы сложения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• формулы синуса суммы и разности аргументов; косинуса суммы и разности аргументов; тангенс суммы и разности аргументов;
• преобразование тригонометрических выражений на основе использования формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности аргументов;
• вычисление значения тригонометрических выражений на основе формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности аргументов;
• доказательство тригонометрических тождеств на основе формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности аргументов.

Глоссарий по теме

Формулы сложения — это формулы синуса суммы и разности аргументов; косинуса суммы и разности аргументов; тангенс суммы и разности аргументов.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу. (рис. 1)

Рисунок 1 – единичная окружность

Точка получена поворотом точки Мₒ(1;0) на угол , а точка на угол и точка на угол .

Углы и равны, отрезки . Значит, треугольник равен треугольнику , следовательно у них одинаковые стороны и .

Так как синус это ордината точки на единичной окружности, а косинус её абсцисса, то точки имеют координаты

;

;

).

Подставим координаты точек и в формулу для нахождения расстояния между ними. Получим:

.

Преобразуем левую часть, используя формулы квадрата суммы и разности двух выражений и тригонометрические тождества:

Преобразуем правую часть:

Соединим левую и правую части:

Разделим на каждое слагаемое :

Получили формулу косинуса суммы.

Заменим и учтём, что , получим формулу косинуса разности

Докажем, что

Так как , , то по формуле косинуса разности получаем:

Заменим получим

Так, например,, потому что .

Докажем, что

Подставим в формулу значение , получим:

Для тангенса и котангенса тоже справедливы формулы

Выведем формулу синуса суммы и разности:

.

В этой формуле заменим и получим формулу синуса разности:

Для тангенса тоже есть формула суммы и разности. По определению .

Тогда tg , разделим числитель и знаменатель на

Получаем формулу тангенса суммы .

Заменим в ней и учтём, что tg⁡〖(-α)=〖-tg〗⁡α 〗, получим формулу тангенса разности

.

Пример. Вычислим .

Для котангенса суммы и разности применяют формулы:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Найти

Решение: Представим , так как нам известны значения косинуса углов и Подставим в формулу косинуса суммы. Получаем:

.

Ответ: .

Пример 2. Найти .

Решение: Представим , так как нам известны значения синуса углов и Подставим в формулу синуса суммы. Получаем:

.

Ответ: .

Пример 3. Вычислите .

Решение: Применяем формулу синуса разности: .

Ответ: .