Урок 35. Формулы двойного аргумента

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №35. Формулы двойного аргумента.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного аргумента;
• преобразование тригонометрических выражений на основе использования формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного аргумента;
• вычисление значений тригонометрических выражений на основе формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного аргумента;
• доказательство тригонометрических тождеств на основе формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного аргумента;
• решение уравнений с использованием формулы синуса, косинуса двойного аргумента.

Глоссарий по теме

Формулы двойного аргумента — это формулы, позволяющие ; и выразить через ; и . Аргументом может быть не только угол, но и любое выражение.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим выражение . Представим как и подставим в формулу синуса суммы. Получим:

(1)

Эту формулу называют синус двойного аргумента.

Например, . В этом случае .

Рассмотрим выражение , где так же . Применяем формулу косинуса суммы:

Получили формулу косинуса двойного аргумента (2)

Например,

Так как , а , то получим ещё две формулы косинуса двойного аргумента.

(3)

(4)

Рассмотрим выражение tg и с помощью формулы тангенса суммы выведем формулу тангенса двойного угла. Помним, что . Получаем:

, где (5)

Для котангенса двойного угла применяем формулу:
, где (6)

Например, .

Формулы (1)-(6) можно использовать как слева направо, так и справа налево. Аргументом может быть не только угол, но и любое выражение. Например,

Докажем формулу для тройного угла.

Представим . По формуле синуса суммы получим:

(используем формулы двойного аргумента)

(применяем формулу

Получили формулу синуса тройного угла:

(7)

Можно доказать, что косинус тройного угла вычисляется по формуле:

. (8)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Найти , если

Решение:

Применим формулу (3)

Ответ: 0,02.

Пример 2. Доказать тождество

Доказательство: Преобразуем левую часть, воспользуясь тем, что формулой (1) и формулой квадрата суммы, получаем:

Левая часть равна правой. Доказано.

Пример 3. Найти ,если

Решение:

Ответ: 0,632