Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений

Поделиться:
Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №40. Преобразование тригонометрических выражений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  • различные приёмы преобразования тригонометрических выражений.
  • различные тригонометрические формулами и их использование при преобразовании тригонометрических выражений.

Глоссарий по теме

Преобразование тригонометрических выражений – это упрощение выражений, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

  • Преобразование тригонометрических выражений – это их упрощение, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.

Вот некоторые правила, которые помогут нам преобразовывать тригонометрические выражения.

  1. Если в тригонометрических выражениях разные меры угла, то их следует привести к единой, применяя правила:

1)Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений)Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений

Например: Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений

2)Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений

Например: Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений.

  1. Если синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы содержат разные аргументы, (углы),стараемся привести к одному аргументу (углу).

Например, с помощью формул двойного аргумента(угла) Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений заменяем на Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений по формуле Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений.

  1. Если в тригонометрическом выражении необходимо поменять синус на косинус, тангенс на котангенс, то применяем формулы приведения.

Например: Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений, так как Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений, синус меняется на косинус.

Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений , так как Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений, тангенс меняется на котангенс, угол в четвёртой четверти, здесь тангенс отрицательный.

  1. Если тригонометрические выражения содержат большое количество тригонометрических функций, то необходимо привести к минимальному количеству видов функций. Для этого используем формулы приведения, основное тригонометрическое тождество или другие формулы.

Например:

вычислить Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений.

Заметим, что Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений, Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений, Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений.

Тогда данное выражение примет вид: Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений;

в скобках формула косинуса двойного угла, т.е. Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений, значит

Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений

  1. Если в тригонометрическом выражении нужно понизить степень входящих в него компонентов, применяем формулу понижения степени или формулу половинного аргумента. Только помните: степень понижается, аргумент удваивается.

Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений ,Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений , Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений , Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

Например: упростите выражение Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений.

Применяем формулу понижения степени для косинуса и получаем:

Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений.

Чтобы определить рациональность значения тригонометрического выражения, мы должны знать, что из всех углов, содержащих рациональное число, лишь углы вида Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений; Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений; Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений , где k целое число, имеют рациональный косинус.

Например, Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений число рациональное, так как Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений.

Углы вида Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений; Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений; Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений , где k целое число, имеют рациональный синус.

Углы вида Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений; Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений, где k целое число, имеют рациональный тангенс.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:

Рассмотрим примеры преобразований тригонометрических выражений.

Пример 1.Вычислите: Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений .

Заметим, что в знаменателе данной дроби у синусов разные углы Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений и Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений. Используем формулу приведения: Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений и тогда наше выражение примет вид: Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений , в знаменателе тригонометрическое тождество, равное 1. Нам осталось 24 разделить на 1, получаем 24.

Пример 2. Найдите Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений , если Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений.

Так как Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений , то разделив числитель и знаменатель данной дроби на Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений. Получаем:

Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений , сократим и заменим Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений наУрок 40. Преобразование тригонометрических выражений.

Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений , по условию Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений=3, подставим это число в наше выражение: Урок 40. Преобразование тригонометрических выражений.