Конспект
Задачи на доказательство неравенств считаются наиболее сложными в школьном курсе алгебры. Сегодня мы познакомимся с двумя самыми распространёнными приёмами доказательства неравенств.
Один из приёмов доказательства неравенств состоит в том, чтобы составить разность левой и правой частей неравенства и показать, что её знак не меняется при любых значениях переменной.
Рассмотрим этот приём на примере доказательства неравенства Коши, названного в честь великого французского математика Огюстена Луи Коши.
Выражение назовём средним арифметическим неотрицательных чисел a и b.
А выражение для неотрицательных чисел a и b назовём средним геометрическим.
Докажем, что среднее арифметическое данных чисел a и b не меньше среднего геометрического:
Составим разность левой и правой частей неравенств:
Приведём выражения к общему знаменателю:
Воспользуемся тем, что и :
Применим формулу квадрата разности:
Полученное выражение является неотрицательным числом.
Следовательно, неравенство Коши является верным при любых значениях переменных.
Другой приём доказательства неравенств состоит в том, чтобы показать, что данное неравенство является следствием некоторого очевидного или ранее известного неравенства.
Докажем, что при неотрицательных значениях чисел a и b выполняется неравенство .
Умножив обе части неравенства Коши на 2, получим:
Применив неравенство Коши к числам ab и 1, получим:
Умножив обе части неравенства на 2, получим:
Получили два неравенства:
Перемножив почленно эти неравенства, приходим к выводу, что данное неравенство является верным:
Мы доказали данное неравенство, применив доказанное ранее неравенство Коши.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.