Урок 43. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №43.Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• уравнение и неравенство, способы их решения;
• система уравнений, система неравенств;
• изображение в координатной плоскости множество решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств и нахождение площади получившейся фигуры;

Глоссарий по теме

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с<0 или ах + bу + с >0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня на уроке мы вспомним нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое нелинейным уравнением и неравенством.

1.Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.

Например, нелинейные уравнения с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными можно заменить равносильным уравнением, в котором правая часть будет нулем, а левая многочленом стандартного вида:

Нелинейные уравнения с двумя переменными изображаются на координатной плоскости различными фигурами, каждое уравнение нужно рассматривать индивидуально.

Пример.

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:

Уравнение запишем в виде (х-у)(х+у) = 0, значит либо х-у=0, либо х

+у=0. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – пара пересекающихся прямых.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

Сумма неотрицательных слагаемых равна 0 только в одном случае, когда оба слагаемых одновременно равны 0.

Это уравнение имеет единственное решение: х=2; у=-3. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – точка (2;-3).

Пусть на координатной плоскости Оху выбрана точка А(а;b), М(х;у) – произвольная точка этой плоскости, R- расстояние от точки М до точки А. Тогда , где R>0. Уравнение окружности с радиусом R и с центром в точке А(а;b).

Запишем уравнение в виде Множеством решения данного уравнения является окружность центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.

Рассмотрим примеры уравнений с двумя переменными, содержащих знак модуля:

Если то х+у=2 Множество решений этого уравнения часть прямой (отрезок АВ), где А(2;0), В(0;2)

Аналогично строятся отрезки в трех оставшихся координатных углах. (рисунок 1)

Рисунок 1 – графика

2.Нелинейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с<0 или ах + bу + с >0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

1. Некоторые из таких неравенств можно привести к виду у<f(x), где f(x) многочлен степени выше первой, те f(x)=0 нелинейное уравнение с одной переменной.

Неравенству у<f(x), соответствует уравнение у = f(x), график которого делит множество не принадлежащих ему точек плоскости на две области: верхнюю и нижнюю. Верхняя область является графиком неравенства у>f(x), а нижняя – графиком неравенства у <f(x).

1. Пусть на координатной плоскости Оху выбрана точка А(а;b), М(х;у) – произвольная точка этой плоскости, тогда неравенству , где R>0 удовлетворяют все те точки, которые находятся от точки А на расстоянии меньшем R, те все точки и только они, расположенные внутри окружности с радиусом R и центром в точке А(а;b). Аналогично, множество решений неравенства есть множество точек , лежащих вне окружности.

Пример.

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства .

1. Начертим график уравнения . Запишем уравнение в виде Множеством решения данного уравнения является окружность центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.
2. Искомое множество решения неравенства – множество точек, лежащих на окружности и внутри окружности с центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.

3. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

Система вида , где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.

Все системы уравнений, которые не являются линейными называются нелинейными.

Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.

Решить систему – значит найти множество ее решений.

Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точек пересечения.  
Например.

Решить систему уравнений

Первое уравнение системы задает параболу, второе – окружность с центром (-1;3) и радиусом . Окружность и парабола имеют две общие точки (0;1) (-1,3;5,3). Координаты второй точки приближенные (рисунок 2).

Рисунок 2 – решение системы

4. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.

Рассмотрим систему нелинейных неравенств с двумя переменными на примере:

Изобразить на координатной плоскости Оху фигуру Ф, заданную системой неравенств, и найти площадь фигуры:

Неравенство заменим равносильной системой которая задает множество точек, лежащих на полуокружности и вне ее. А неравенство заменим равносильной совокупностью систем или (рисунок 3)

Рисунок 3 – решение системы

Дополнительный материал

1. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению .(рисунок 4)

График уравнения х^2 можно получить из окружности сжатием к оси х в 2 раза.

Рисунок 4 – график уравнения

Заметим, что фигуру, которая получается сжатием окружности к одному из ее диаметров, называют эллипсом.

1. Уравнение вида — уравнение ромба , где точка (a;b) точка пересечения диагоналей; диагонали ромба соответственно равны .

Рассмотрим частный случай:

Если k=m, то диагонали ромба будут равны, значит заданная фигура – квадрат.

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Графиком данного уравнения является парабола, показанная на рисунке.(рисунок 5)

Рисунок 5 – график

Пример 2.

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства (рисунок 6)

Начертим график уравнения . Графиком данного уравнения является парабола. Нижняя из образовавшихся областей является графиком неравенства

Проверим себя: Например, пара (0;0) является решением неравенства , и принадлежит нижней из образовавшихся областей, значит графиком неравенства 2х+3у<6 является нижняя область.

Рисунок 6 – решение