Урок 73. Бесконечные периодические десятичные дробиКонспект урока
Математика
6 класс
Урок № 73
Бесконечные периодические десятичные дроби
Перечень рассматриваемых вопросов:
– понятие бесконечной периодической десятичной дроби;
– преобразование обыкновенных дробей в бесконечные периодические дроби;
– действия с периодическими дробями.
Тезаурус
Бесконечная периодическая десятичная дробь – это дробь, у которой одна цифра или группа цифр повторяются. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.
Любое рациональное число p/q можно разложить в периодическую десятичную дробь.
Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа.
Список литературы
Обязательная литература:
1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Обыкновенную дробь можно разложить в конечную десятичную, если в знаменателе нет простых множителей, кроме 2 и 5.
Вы уже знаете, как это сделать.
1. Умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы привести к знаменателю 10, 100, 1000 и т. д.;
2. Выполнить деление числителя на знаменатель.
Пример 1. Умножили числитель и знаменатель на 2.
Пример 2. Сначала сократили дробь.
Пример 3. Выполнили деление 3 на 125.
Рассмотрим примеры, когда привести к знаменателю 10, 100 и т. д. нельзя. Возможно только деление числителя на знаменатель.
Заметим, что при делении получаются повторяющиеся остатки и, соответственно, повторяющиеся цифры в частном. Из-за этого процесс деления бесконечен. Отсюда происходит бесконечная десятичная дробь.
Рассмотрим другие примеры.
Повторяющиеся цифры 3; 27; 6 называют периодом дроби. Бесконечные десятичные дроби 0,333…; 0,2727…; 0,1666… называют периодическими.
Записывают так:
0,(3)
0,(27)
0,1(6)
Читают так:
«Нуль целых и три в периоде»
«Нуль целых и 27 в периоде»
«Нуль целых одна десятая и шесть в периоде»
Периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой, начиная с некоторого десятичного знака, повторяется одна и та же цифра или несколько цифр (период дроби).
Отметим, что любое рациональное число p/q разлагается в периодическую десятичную дробь.
Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа.
Замечание. При делении уголком десятичное разложение с периодом 9 не возникает.
Далее рассмотрим, как выполняются действия с периодическими дробями?
1. Сравните дроби
1/3 и 0,3
Запишем дробь 1/3 в виде бесконечной периодической дроби 0,333…
Запишем дробь 0,3 в следующем виде 0,300… Приписывая бесконечно много нулей, мы превращаем конечную дробь в равную ей бесконечную периодическую дробь с периодом 0.
Теперь можем сравнить: 0,333… > 0,300…
2. Разложите обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь, округлите до десятых.
1/3 = 0,333… ≈ 0,3
5/9 = 0,555… ≈ 0,6
Разбор заданий тренировочного модуля
Задание 1
Представьте в виде периодической дроби. В ответе укажите её период.
период 6
период 4
период 18
период 6
Ответ: 6; 4; 18; 6.
Задание 2
Используя предыдущие задания, запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: 0,(3); 0,(5); 0,(6).
0,(3)
0,(5)
0,(6)
Ответ:
Задание 3 ⃰ (повышенного уровня сложности)
Задача: периодическую дробь 0,(1) записать в виде обыкновенной дроби.
Пусть х = 0,(1) = 0,111…
Умножим обе части на 10.
Получим
10 ∙ х = 1,111…
Найдём разность
10 ∙ х – х = 1,111… – 0,111…
Получим
9 ∙ х = 1
Значит,
Ответ:.