Урок 1. Числовые и алгебраические выражения. Линейные уравнения и неравенства

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа

10 класс

Урок № 1

Числовые и алгебраические выражения. Линейные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

обобщение и систематизация знаний по алгебре 7-9 кл.;

повтор арифметики алгебраических выражений;

решение линейных уравнений и неравенств;

решение систем линейных уравнений и неравенств.

Тезаурус

Линейное уравнение с одним неизвестным – это уравнение вида ax = b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.

Неравенство первой степени с одним неизвестными – это неравенство вида ax < b / ax > b / ax ≤ b / ax ≥ b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида

Где x и y – неизвестные,

– заданные числа,

причём и.

Основная литература:

1. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни.

2. Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни

Дополнительная литература:

1. Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень.

2. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2000. 

Открытые электронные ресурсы:

Федеральный институт педагогических измерений. http://www.fipi.ru

1. Выражения

Все выражения можно разбить на два класса на основании наличия переменных: числовые выражения и выражения с переменными.

Логическая задача на классификацию

Для числовых выражений можно находить значение – результат всех выполненных действий. Для выражений с переменными можно также находить значение при некоторых значениях переменных, предварительно упростив его, например, с помощью свойств, правил, формул сокращенного умножения.

Пример 1.

Найдите значение выражения при a = 0,01 и b = 12:

1) 7a — (2a — (a — 5)),

2)

3)

Решение:

1)7a — (2a — (a — 5)) = 7a — (2a – a + 5) = 7a — (a + 5) = 7a – a – 5 = 6a — 5;

6 ∙ 0,01 – 5 = -4,94

2) ;

3)

3b — 2a — 3b = -2a = -0,02

2. Линейное уравнение с одним неизвестным

Определение

Линейное уравнениес одним неизвестным – это уравнение вида ax = b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное

Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет

Основные свойства уравнений

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Решение уравнения ax = b, где a и b – числа, x – переменная

Если a ≠ 0, b – любое число, то

.

Если a = 0, b ≠ 0, то нет корней.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Пример 2.

Решите уравнение:

1) ,

2) |5x + 7| = 2.

Решение:

1),

3(3x + 1) — 5(2x — 1) = 7x + 3,

9x + 3 — 10x + 5 = 7x + 3,

-8x = -5 |:(-8),

x = 0,625

Ответ: 0,625

Решим уравнение 2).

По определению модуля числа имеем 5x + 7 = ±2.

Таким образом, либо 5x + 7 = 2, откуда x = -1, либо 5x + 7 = -2, откуда x = -1,8. Получаем ответ: -1; -1,8.

Решение уравнения ax = b, где a и b – числа, x – переменная

Если a ≠ 0, b – любое число, то

.

Если a = 0, b ≠ 0, то нет корней.

Если a = 0, b = 0, то x – любое число.

Линейное уравнение с параметрами

Пример.

Решите уравнение (5x + 7)n = x — m, где m и n – некоторые числа, x – неизвестное

Решение:

5x · n + 7n = x — m,

5xn – x = -m — 7n,

x(5n — 1) = -m — 7n,

1) Если 5n — 1 ≠ 0, то есть n ≠ 0,2, то

.

Используя основное свойство дроби, получаем, что

.

2) Если 5n – 1 = 0, то есть n = 0,2, то уравнение примет вид 0 ∙ x = -m — 1,4;

Тогда при m = -1,4 корнем уравнения будет любое число,

при m ≠ -1,4 уравнение не имеет корней.

Рассмотрим задачу 1.

От пристани A до пристани B катер плывет по реке 15 минут, а обратно 20 минут. Найти скорость течения реки, если собственная скорость катера 14 км/ч.

Для её решения необходимо:

1. Провести ориентировку в тексте задачи.

1.1. Проанализировать условие и выявить данные (известные, дополнительные, скрытые).

1.2. Проанализировать вопрос задачи и выявить искомое.

1.3. Определить связи одноуровневые и межуровневые между данными и искомым.

1.4. Построить графическую схему, например, таблицу.

1.5. Установить в ней место искомого.

2. Спланировать способ решения задачи.

2.1. Подобрать метод, например, алгебраический.

2.2. Подобрать средства.

2.3. Подобрать действия для решения составленной математической модели.

3. Исполнить намеченный план решения и найти искомое.

4. Провести самоконтроль решения задачи, проверив, что найденное искомое не противоречит условию задачи.

5. Провести самооценку решения задачи.

6. Провести самокоррекцию выполненного решения задачи, если есть в том необходимость.

1 способ: Провести повторное решение задачи от начала до конца.

2 способ: Провести дополнительную деятельность для того, чтобы ответить на вопрос задачи.

3 способ: Решить задачу другим способом.

удовлетворяет условию

Ответ: 2км/ч.

3. Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Определение

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида

Где x и y – неизвестные,

– заданные числа,

причем и .

Определение

Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными – это пара чисел x и y, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Способы решения систем уравнений: способ подстановки и способ сложения.

Пример 3.

Решите систему способом подстановки

Для этого необходимо:

1. Выразить одну переменную через другую из какого-либо уравнения.

2. Подставить полученное выражение вместо выраженной переменной в другое уравнение.

3. Решить полученное уравнение относительно одной переменной.

4. Найти значение другой переменной, подставив найденный корень в формулу пункта 1.

5. Записать решение системы.

y = 6x — 4,

3x + 5(6x — 4) = 13,

3x + 30x — 20 = 13,

33x = 33,

x = 1.

y = 6 · 1 – 4 = 2

(1;2) – решение системы

Ответ: (1;2)

Пример 4.

Решите систему способом сложения

Для этого необходимо:

1. Домножить какое-либо уравнение системы или оба уравнения на такие числа, чтобы при почленном сложении уравнений получить уравнение относительно одной переменной.

2. Решить уравнение, полученное после почленного сложения.

3. Подставить найденный корень в какое-либо уравнение исходной системы.

4. Решить составленное уравнение.

5. Записать решение системы.

23x = 69,

x = 3,

2 · 3 + 3y = 3,

y = -1.

(3;-1) – решение системы

Ответ: (3;-1)

Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Если , то система имеет единственное решение.

Если то система не имеет решений.

Если , то система имеет бесконечно много решений.

Система линейных уравнений с параметром

Пример 5.

Решите систему уравнений с параметром a:

Решение:

Решим систему способом подстановки. Выразим y из первого уравнения системы:

Подставим выражение вместо y во второе уравнение системы:

(a — 3)x + a((a + 1)x — a) = -9

Решим полученное уравнение относительно x:

1. Если , то есть , то система имеет единственное решение. Найдём это решение:

После сокращения получаем: .

Найдём соответствующее значение y, подставив вместо x в формулу

Получим .

Итак, если , то– решение системы.

2. Если и , то есть a = -3, то система имеет бесконечно много решений. Найдем в этом случае решения системы. Для этого подставим a = -3 в первое уравнение системы. Получим уравнение -2x – y = -3, из которого выразим y : y = 3 — 2x. Значит, (x; 3 — 2x), где x – любое число, (3 -2x) – решения системы.

3. Если и, то есть a = 1, то система не имеет решений.

Ответ: Если , то – решение системы;

если a = -3, то (x;3-2x), где x – любое число, — решения системы;

если a = 1, то система не имеет решений.

4. Решение линейных неравенств с одним неизвестным

Определение

Неравенство первой степени с одним неизвестными – это неравенство вида ax < b / ax > b / ax ≤ b / ax ≥ b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.

Определение

Решение неравенства с одним неизвестным – это то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Правило решения неравенства первой степени с одним неизвестным

1. Перенести с противоположными знаками члены, содержащие неизвестное, из правой части в левую, а не содержащие неизвестное – из левой части в правую.

2. Привести подобные члены в левой и правой частях неравенства.

3. Если коэффициент при неизвестном отличен от нуля, то разделить на него обе части неравенства.

5. Системы линейных неравенств с одним неизвестным

Решение системы неравенств с одним неизвестным – это значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.

Пример 6.

Решить неравенство 2x — 8 < 5,2x — 1,6.

Решение:

2x – 8 < 5,2x — 1,6,

2x — 5,2x < -1,6 + 8,

-3,2x < -9,6,

x > 3.

Ответ: x > 3

Решение неравенства ax < b

Если a > 0, то

Если a < 0, то

Если a = 0, b > 0, то x – любое число

Если a = 0, b ≤ 0 , то решений нет

Линейное неравенство с параметром

Пример 7.

Решите неравенство с параметром a:

a(2x — 1) < ax + 5

Решение:

2ax — a < ax + 5,

ax < 5 + a.

Если a > 0, то

Если a < 0, то

Если a = 0, то 0 · x < 5 верно для любого x, так как 0 < 5. В этом случае решением неравенства является любое число x.

Ответ: Если a > 0, то ; если a < 0, то ;

если a = 0, то x – любое число.

Решить систему неравенств – это значит найти все решения системы или установить, что их нет.

Пример 8.

Решить систему неравенств

Решим первое неравенство системы:

2x – 6 > 0, 2x > 6, x > 3.

Решим второе неравенство системы:

4x — 20 < 0, 4x < 20, x < 5.

Отметим найденные решения неравенств на координатной прямой.

Оба неравенства системы верны при 3 < x < 5.

Пример 9.

Решите неравенство |3 — 2x| < 7.

Данное неравенство означает то же что и двойное неравенство

-7 < 3 — 2x < 7.

Вычтем 3 из каждой части двойного неравенства, получим

-10 < -2x < 4, откуда делением на -2 каждой части неравенства найдём -2 < x < 5.