Урок 10. Приближения числа

Конспект урока

Алгебра

7 класс

Урок № 10

Приближения числа

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Приближённое значение числа.
• Приближение с недостатком, приближение с избытком.
• Округление действительных чисел.
• Арифметические действия с приближёнными значениями действительных чисел.

Тезаурус:

1. Если a < x < b, то a называют приближённым значением числа x с недостатком, b приближённым значением с избытком.
2. Приближение по недостатку и приближение по избытку называют округлением числа.
3. Округлить число с точностью до какого-то разряда – это значит, округлить число до того разряда, где находится значащая цифра, заменив следующие цифры нулями.
4. При округлении числа до какого-нибудь разряда цифры во всех следующих разрядах заменяют нулями, а стоящие после запятой ‑ отбрасывают.
5. Если следующая за разрядом, до которого округляем, цифра равна 5, 6, 7, 8, 9, то остающийся разряд увеличивают на 1. Если цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то остающийся разряд оставляют без изменения. 

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

При решении практических задач иногда невозможно указать точный результат. Если число a1 мало отличается от числа a, то пишут: a ≈ a1.

Говорят, что число a приближённо равно числу a1 или a1 –это приближение числа a.

Если a1 < a, то a1 называют приближением с недостатком.

Если a1 > a, то a1 называют приближением с избытком.

Действительные числа, задаваемые бесконечными десятичными дробями, заменяют конечными десятичными дробями.

Пример: пусть a = 2,3(28) или a = 2,32828… Отбросим все цифры, начиная со второй после запятой, получим 2,32. Увеличим дробь на 0,01, получим 2,33. Число a находится между ними: 2,32 < a < 2,33

Таким образом, a ≈ 2,32 или a ≈ 2,33.

2,32 – приближение числа с недостатком;

2,33 – приближение числа с избытком, с точностью до 0,01.

Более точное приближение числа a получим при приближении с точностью до 0,001. Тогда, 2,328 < a < 2,329

Если число отрицательное:

пусть b = —2,3(28) = -2,32828…, отбросим все цифры, начиная со второй после запятой, тогда –2,33 < b < -2,32.

-2,33 – приближение числа с недостатком;

-2,32 – приближение числа с избытком, с точностью до 0,01 или до единицы второго разряда.

Значащей цифрой десятичной дроби называют её первую (слева направо), отличную от нуля, цифру, а также все следующие за ней цифры. В числе 235000 все цифры значащие, в числе 0,302 значащие – три цифры после запятой.

Значащими цифрами являются:

– все ненулевые цифры;

– нули, содержащиеся между ненулевыми цифрами;

– нули, являющиеся представителями сохраненных десятичных разрядов при округлении.

Округление.

Округлить число с точностью до значащей цифры – это значит, округлить число до того разряда, где находится значащая цифра, заменив следующие цифры нулями.

Пример: 3,7523… округлите с точностью до 0,01.

3,75|23 ≈ 3,7500 ≈ 3,75.

Незначащие цифры, нули, нужно отбросить. При этом помним правило округления:

Если правее разряда, до которого округляем, стоит цифра 5, 6, 7, 8, 9, то цифру в разряде увеличиваем на 1.

Если правее разряда, до которого округляем, стоит цифра 0, 1, 2, 3, 4, то цифру в разряде не изменяем.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача 1.

Пусть: а = 23,1834567 и b = -4,2375.

Найдите сумму и разность с точностью до одной сотой.

Решение:

Чтобы вычислить приближённую сумму, разность двух чисел, надо округлить эти числа с одинаковой точностью, затем выполнить сложение или вычитание.

Решение: округляем до 0,01.

а =23,18|34567 ≈ 23,18 и b = -4,23|75 ≈ -4,24.

Находим:

а + b ≈ 23,18 + (-4,24) = 18,94.

а – b ≈ 23,18 – (-4,24) = 23,18 + 4,24 = 27,42..

Ответ: 18,94; 27,42.

Задача 2.

Пусть: а = 135,78665 и b = 0,0068751. Найдите произведение и частное чисел, округлите результат до третьей значащей цифры.

Решение.

Чтобы вычислить приближённо произведение, частное двух чисел, надо округлить эти числа с одинаковой точностью, затем выполнить умножение или деление, затем округлить результат до той же значащей цифры.

Округляем до третьей значащей цифры, получим:

а ≈ 136 и b ≈ 0,00688.

Находим:

а · b ≈ 136 · 0,00688 = 0,93568 ≈ 0,936.

а : b ≈ 136 : 0,00688 = 197|67,4 ≈ 19800.

Ответ: 0,936; 19800.