Урок 18. Степенная функция. Дробно-линейная функция

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №18. Степенная функция. Дробно-линейная функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие степенной функции;

2) основные свойства функций и ;

3) понятия взаимно обратной и дробно- линейной функций;

4) особенности построения графика дробно-линейной функции.

Глоссарий по теме

Определение. Функция вида , где n- любое действительное число, называют степенной функцией.

Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Функция вида у=хn, где n- любое действительное число, называют степенной функцией.

С некоторыми из таких функций вы уже познакомились в курсе алгебры 7-9 классов Это, например, функции у=х1=х, у=х2, у=х3. При произвольном натуральном n графики и свойства функции у=хn аналогичны известным графикам и свойствам указанных функций.

Если показатель степени n — натуральное число, то степенная функция задаётся формулой y=xn.

При n=1,  y=x1 или y=x — прямая (Рисунок 1).

Рисунок 1 – график функции y=x1

При n=2, y=x2 — парабола.

При n=3, y=x3 — кубическая парабола.

График степенной функции y=xn, где n — чётное число (4,6,8…), принимает вид параболы.

Рисунок 2 – график функции y=xn, где n — чётное число 

График степенной функции y=xn, где n — нечётное число (5,7,9…), принимает вид кубической параболы.

Рисунок 3 – график функции y=xn, где n — нечётное число 

Если показатель степени — целое отрицательное число, то степенная функция задаётся формулой y=x−n или y=1/xn.

График степенной функции y=x−n, в случае, когда n — чётное число (4,6,8…), принимает вид:

Рисунок 4 – график функции y=x−n, при  n — чётное число

Например, такой вид принимают графики функций y=x−4,y=x−8.

График степенной функции y=x−n, в случае, когда n — нечётное число (5,7,9…), принимает вид гиперболы:

Рисунок 5 – график функции y=x−n, при n — нечётное число

Например, такой вид принимают графики функций y=x−5,y=x−11.

Функции такого вида называются дробно-линейными.

Рассмотрим графики степенных функций y=xm/n с положительным дробным показателем m/n.

1. Степенная функция , где > неправильная дробь (числитель больше знаменателя).

График — ветвь параболы:

Рисунок 6 – , где

Свойства функции , где

1.D(f)=[0;+∞);

2.E(f)=[0;+∞);

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. возрастает при x∈[0;+∞);

5. не имеет наибольшего значения, yнаим=0;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вниз;

8. непрерывна.

2. Степенная функция , где — правильная дробь (числитель меньше знаменателя).

Рисунок 7 — функция , где

Свойства функции , где

1.D(f)=[0;+∞);

2.E(f)=[0;+∞);

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. возрастает при x∈[0;+∞);

5. не имеет наибольшего значения, yнаим=0;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вверх;

8. непрерывна.

Рассмотрим степенные функции с отрицательным дробным показателем степени 

График — ветвь гиперболы.

Рисунок 8 — функция

График имеет горизонтальную асимптоту у=0 и вертикальную асимптоту х=0.

 Свойства функции .

1.D(f)=(0;+∞);

2.E(f)=(0;+∞);

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. убывает при x∈(0;+∞);

5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вниз;

8. непрерывна.

Итак, на основании всего вышеперечисленного, можно сделать вывод в виде таблицы:

Таблица 1 — вывод

Рассмотрим еще одну функцию.

Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).

Теорема 1

Если функция  y=f(x), x∈X монотонна на множестве X, то она обратима.

Теорема 2

Если функция y=f(x) возрастает (убывает) на множестве X, а Y — область значений функции, то обратная функция x=f−1(y),y∈Y возрастает (убывает) на множестве Y.

Теорема 3

Точки M(a;b) и P(b;a) симметричны относительно прямой y=x.

Нахождение формулы для функции, обратной данной

Пользуясь формулой y=f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x=g(y) заменить x на y, а y на x.

Пример:

Дана функция y=x2, x∈[0;+∞). Найти обратную функцию.

Заданная функция возрастает на промежутке [0;+∞), значит, она имеет обратную функцию. Из уравнения y=x2 находим:  или . Промежутку [0;+∞) принадлежат лишь значения функции . Это и есть обратная функция, которая определена на промежутке [0;+∞).

Поменяв местами x и y, получим: , x∈[0;+∞). График этой функции получается из графика функции y=x2, x∈[0;+∞) с помощью симметрии относительно прямой y=x.

Рисунок 9 – график функции, обратной y=x2

Разборы и примеры решения заданий тренировочного модуля

№1.

Изобразите схематически график функции

Графиком данной функции является гипербола.

Возьмем точки:

Верный ответ:

Рисунок 10 – график функции

№2. Выделите возрастающую функцию при х>0, если

1. р=8
2. р=-9
3. р= -5
4. р=-3
5. р=4
6. р=11

Применим данную таблицу к решению нашего задания

Таблица 1 – выводы

При p>0 функция возрастает.

Соответственно, верный ответ:

1. р=8
2. р=-9
3. р= -5
4. р=-3
5. р=4
6. р=11