Урок 30. Решение приведённых квадратных уравнений. Теорема Виета

Конспект

Квадратное уравнение x2 – 6x + 8 = 0 имеет два корня, x1 = 2; x2 = 4.
x1 • x2 = 8 – равно свободному члену;
x1 + x2 = 6 – равно второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.

Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни. Докажем это.

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение x2 + px + q = 0.

D = p2 – 4q.
Пусть D > 0, тогда уравнение имеет два действительных различных корня:
и .

Найдём сумму и произведение корней:

Таким образом, если x1 и x2 – корни приведённого квадратного уравнения x2 + px + q = 0, то
x1 + x2 = –p;
x1 • x2 = q.

Если дискриминант приведённого квадратного уравнения будет равен 0, то условимся считать, что тогда уравнение имеет не один корень, а два совпавших корня, и поэтому доказанная теорема будет также верна.

Эта теорема называется теоремой Виета по имени французского математика Франсуа Виета.

Любое квадратное уравнение можно привести к равносильному ему приведённому квадратному уравнению, разделив обе части уравнения на первый коэффициент. Тогда при наличии действительных корней у этого уравнения и согласно теореме Виета, получим вышеприведённые равенства. Это следствие из теоремы Виета – обобщённая теорема Виета.

Используем теорему Виета для нахождения произведения и суммы корней уравнения 2x2 + 9x + 7 = 0.

D = b2 – 4ac = 92 – 4 • 2 • 7 = 25 > 0, значит, уравнение имеет 2 корня. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение .

По теореме Виета

На практике чаще всего используется теорема, обратная теореме Виета:

тогда y и z – корни уравнения x2 + px + q = 0.

Запишем уравнение x2 + px + q = 0 в виде x2 – (y + z)x + y • z = 0.

Проверим, что у является корнем уравнения. Подставим его вместо х:
y2 – (y + z)y + y • z = 0.

Получим 0 = 0, значит, y – корень уравнения.

Аналогично можно проверить, что и z является корнем уравнения.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

Уравнение x2 – 5x + 6 = 0 имеет два корня x1 = 2; x2 = 3. Покажем, что корни найдены верно:
x1 + x2 = 5;
x1 • x2 = 6.

Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа 2 и 3 являются корнями данного уравнения.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, также можно подбором находить корни приведённого квадратного уравнения.

x2 + 13x + 40 = 0
D = 132 – 4 • 1 • 40 = 169 – 160 = 9 > 0, значит, уравнение имеет два корня.

Подберём такие x1 и x2, чтобы

Таким образом, по теореме, обратной теореме Виета, получим корни данного уравнения x1 = –5; x2 = –8.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.