Урок 34. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Напомним, что арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d. Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Зная первый член и разность, можно найти любой член арифметической прогрессии по его номеру. Это позволяет сделать формула n-го члена.
Мы выяснили, что последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Это свойство арифметической прогрессии называется её характеристическим свойством.
Более того, любой член арифметической прогрессии, равен не только среднему арифметическому своих непосредственных соседей, но и среднему арифметическому членов прогрессии, находящихся от него на одинаковом расстоянии. Например, 10-й член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому 9-го и 11-го членов, а также 8-го и 12-го, 7-го и 13-го, … 1-го и 19-го.
Обозначим сумму первых n членов арифметической прогрессии как эс энное и запишем эту сумму дважды.
Первый раз – в порядке возрастания номеров членов, во втором случае в порядке убывания.
Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна сумме первого и n-го её членов.
Число таких пар равно n. Поэтому, складывая почленно равенства 1 и 2, получаем…
Разделим обе части полученного равенства на 2 и получим формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии
Вернёмся к задаче, которую мы решали в начале урока. Найдём сумму всех трёхзначных числе, кратных восьми.
Заметим, что эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 8.
Первый член – наименьшее трёхзначное число, кратное восьми, 104.
Как известно, на 8 делится число 1000, но оно четырёхзначное. Отнимая от тысячи восемь, получим наибольшее трёхзначное число, кратное восьми, — число 992. Это n-й член данной арифметической прогрессии.
По формуле n-го члена найдём число n – номер этого члена.
Таким образом, сумма всех кратных восьми трёхзначных чисел равна сумме первых 112-ти членов данной арифметической прогрессии.
Конечно, последнее действие придётся выполнить в столбик, но это единственное трудоёмкое вычисление при сложении 112-ти трёхзначных чисел.
По полученной формуле можно находить сумму n первых членов арифметической прогрессии, если известны её первый и n-й члены и количество членов. Но далеко не всегда нам известен n -й член.
Воспользуемся формулой n – го члена арифметической прогрессии и выведем ещё одну формулу суммы – через первый член и разность арифметической прогрессии
Найдём сумму первых 97-ми чисел натурального ряда, кратных 11-ти.
Заметим, что эти числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом 11 и разностью 11.
Сумма первых 97-ми чисел натурального ряда, кратных 11-ти, равна сумме первых 97-ми членов этой арифметической прогрессии.
Сумма первых 20-ти членов арифметической прогрессии равна –2040, её первый член равен 2,5. Найдём её разность.
Запишем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, подставим в неё известные величины, решим полученное уравнение.
Разность арифметической прогрессии равна –11.