Урок 36. Формула Бернулли -

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №36. Формула Бернулли.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Формула Бернулли
Суть задачи, решаемой с применением формулы Бернулли;
Решение задач на вычисление вероятности;

Глоссарий по теме

Независимые события – такие события, вероятности наступления которых не зависит от появления друг друга.

Полная группа события – это система случайных событий, такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно и только одно из них.

Вероятность того, что событие A наступит ровно k раз из n, равна P(k) = Cnkpkqn-k, k=0, 1, 2 … n, Cnk – число сочетаний из n по k.

Эта формула называется «формулой Бернулли», а модель, описывающая совокупный результат n независимых испытаний с двумя исходами (А или Ā) называется «схемой Бернулли».

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014. с. 197-203.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Попробуйте решить такую задачу:

Бросаем монетку десять раз. Какова вероятность того, что орёл выпадет ровно пять раз?

Ответ. 63/256

Достаточно часто возникает необходимость узнать вероятность появления определённого события в серии испытаний. Формулу для расчёта такой вероятности вывел выдающийся швейцарский математик Якоб Бернулли. В этом уроке мы познакомимся с формулой Бернулли и научимся её применять в решении задач.

Формула Бернулли

Рассмотрим важный частный случай: проводятся n одинаковых независимых испытаний с двумя исходами А или Ā. Вероятности P(А)=p и P(Ā)=1-p=q постоянны и не равны ни нулю, ни единице. Такие испытания иногда называют испытаниями Бернулли, исход А – успех, а исход Ā – неудача.

По теореме умножения вероятностей независимых событий для каждого элементарного события найдем вероятность, равную произведению вероятностей результатов отдельных испытаний: pkqn-k, где k– количество опытов, в которых произошло событие A, (n-k) – количество опытов, в которых произошло событие Ā.

Якоб Бернулли впервые доказал, что вероятность того, что событие A наступит ровно k раз из n, равна P(k) = Cnkpkqn-k, k=0, 1, 2 … n, Cnk– число сочетаний из n по k.

Эта формула называется «формулой Бернулли», а модель, описывающая совокупный результат n независимых испытаний с двумя исходами (А или Ā) называется «схемой Бернулли».

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Охотник Джек попадает в мишень в среднем четыре раза из пяти. Последние четыре раза он попал. Какова вероятность, что он попадёт в следующий раз? Выделите цветом правильный ответ.

Решение:

Вероятность каждого успеха не зависит от результатов предыдущих испытаний и составляет 4/5 = 0,8.

Ответ: 1) 0,8

2. Подчеркните событие, которое более вероятно: выбросить шестёрку 3 раза, бросив кубик 6 раз, или вытянуть из колоды двух тузов, вытащив четыре карты.

Решение:

Вероятность выбросить шестёрку три раза за шесть бросков кубика

P6(3) = C63·(1/6)3·(5/6)3 = 20·(1/216)·(125/216) ≈ 0,0536

Вероятность вытянуть двух тузов, вытащив четыре карты из колоды – сумма вероятностей шести событий в каждом из которых тузы выпадают на разных позициях: 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 2 и 3, 2 и 4, 3 и 4. При этом вероятности этих шести событий равны между собой.

P = (4/36)·(3/35)·(32/34)·(31/33) + (4/36)·(32/35)·(3/34)·(31/33) + … = 6·(4·3·32·31)/(36·35·34·33) ≈ 0,0505.

В итоге оказывается, что вероятность выкинуть три шестёрки за шесть бросков кубика, чуть выше, чем вероятность вытянуть двух тузов, вытащив четыре карты.

Ответ: выбросить шестёрку 3 раза, бросив кубик 6 раз