Урок 4. Прогрессии и сложные проценты

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №4. Прогрессии и сложные проценты.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— числовые последовательности;

— арифметическая и геометрическая прогрессии как функции от натурального аргумента;

— простые и сложные проценты.

Глоссарий по теме:

Прогрессия – последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

Рекуррентный – (лат. recurens возвращающийся). Рекуррентная последовательность — возвратная последовательность.

Основная литература:

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. — М.: Просвещение, 2017.

Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни.2016.

Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень.2016.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Часто при решении различных задач, как прикладных, так и теоретических, возникают последовательности. Это могут быть последовательности чисел или элементов какого-то другого множества.

Определение 1

Если каждому натуральному числу n ∈ N поставлен в соответствие какой-то элемент xn из некоторого множества A, то говорят, что задана последовательность элементов множества A:

Определение 2

Функцию y = f(x), x ∈ N, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или .

Способы задания

Аналитический

Задается формулой n-го члена:

Описательный 

Состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Рекуррентный 

Состоит в том, что указывается правило, по которому вычисляют (n+1) -й член, если известен её предыдущий n-й член и задают 1-ый член последовательности.

Самый известный пример такой задачи – последовательность чисел Фибоначчи .

Её специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств. Фибоначчи – итальянский математик 13 века.

Числа Фибоначчи

, если n = 3, 4,…

;

; 

и т.д.

Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n-е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой:

 .

Есть последовательности, отличающиеся особыми свойствами, например, арифметическая прогрессия. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии. Каждый член равен среднему арифметическому двух соседних членов.

Арифметическая прогрессия —

числовая последовательность , заданная рекуррентно

, где n = 2, 3…

— формула n-го члена арифметической прогрессии.

— характеристическое свойство.

— сумма n  членов

Геометрическая прогрессия — числовая последовательность , заданная рекуррентно

, где n =2, 3, …

 b ≠ 0, q ≠ 0.

— формула n-го члена геометрической прогрессии

— характеристическое свойство

— сумма n  членов

Свойства числовых последовательностей.

Определение 1. 

Последовательность называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего:  

Определение 2.  Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего:

Далее перейдем к понятию «проценты». Известно, что процент — это сотая часть числа. В основной школе были рассмотрены 3 типа задач:

1 тип. Найти % от числа.

2 тип. Найти число по его %.

3 тип. Найти %-ое отношение.

Алгоритм решения задач 1 и 2 типа.

— выразить % десятичной дробью, например, 0,25 = 25%

— умножить или разделить число на дробь.

Обратим внимание на банковские %. Простой процент – это начисление % на банковском счете за весь период хранения средств. Определяется в годовой процентной ставке.

Формула расчета простых процентов

– сумма вклада;

– первоначальный вклад;

р- процентная ставка;

n – срок кредита.

Формула расчета сложных процентов

Важно! При простой системе прибыль растет в арифметической прогрессии, а при сложной системе в геометрической.

Для решения экономической задачи ЕГЭ можно использовать следующую формулу расчета ежемесячного платежа:

C — общая сумма кредита, 

x — процент,

P — ежемесячный платеж, 

n— срок, на который берется кредит.

Задания тренировочного модуля с разбором.

Задача 1.

Найти концентрацию соли в растворе, если на 5 литров воды добавили 200 г соли.

Концентрацией вещества называют процентное отношение количества вещества и раствора. Например, смешаем 5 л (5 кг) воды и 200 г общая масса 5200 г. 200/5200·100=0,0384% -й раствор соли.

Ответ: 4%

Задача 2.

Клиент может сделать вклад в банке в сумме 50000 рублей на 3 года по схеме простые % и сложные %. Банковская ставка 10% годовых. Какой вклад выгоднее и на сколько?

1 схема – простые %

Сумма вклада 50000 р

 Ставка 10% годовых.

Через 1 год прибыль 50000×0,1=5000 р.

 Спустя 3 года: 65000 р.

2 схема – сложные %.

Сумма вклада 50000 р

 Ставка 10% годовых.

50000∙(1+0,1)3 =665500 р.

Спустя 3 года: 665500 р.

665500-65000=15500 рублей — на столько больше.

Ответ:  на 15500 р.