Урок 43. Доказательство неравенств

Конспект

Задачи на доказательство неравенств считаются наиболее сложными в школьном курсе алгебры. Сегодня мы познакомимся с двумя самыми распространёнными приёмами доказательства неравенств.

Один из приёмов доказательства неравенств состоит в том, чтобы составить разность левой и правой частей неравенства и показать, что её знак не меняется при любых значениях переменной.

Рассмотрим этот приём на примере доказательства неравенства Коши, названного в честь великого французского математика Огюстена Луи Коши.

Выражение назовём средним арифметическим неотрицательных чисел a и b.

А выражение для неотрицательных чисел a и b назовём средним геометрическим.

Докажем, что среднее арифметическое данных чисел a и b не меньше среднего геометрического:

Составим разность левой и правой частей неравенств:

Приведём выражения к общему знаменателю:

Воспользуемся тем, что и :

Применим формулу квадрата разности:

Полученное выражение является неотрицательным числом.

Следовательно, неравенство Коши является верным при любых значениях переменных.

Другой приём доказательства неравенств состоит в том, чтобы показать, что данное неравенство является следствием некоторого очевидного или ранее известного неравенства.

Докажем, что при неотрицательных значениях чисел a и b выполняется неравенство .

Умножив обе части неравенства Коши на 2, получим:

Применив неравенство Коши к числам ab и 1, получим:

Умножив обе части неравенства на 2, получим:

Получили два неравенства:

Перемножив почленно эти неравенства, приходим к выводу, что данное неравенство является верным:

Мы доказали данное неравенство, применив доказанное ранее неравенство Коши.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.