Урок 84. Сложные задачи на проценты

Конспект урока

Математика

6 класс

Урок № 84

Сложные задачи на проценты

Перечень рассматриваемых вопросов:

• простые и сложные задачи на проценты;
• применение процентных вычислений в задачах;
• модели реальных ситуаций с описанием в процентах.

Тезаурус

Один процент от некоторого числа или величины – это сотая доля этого числа или величины.

Простой процент – прибыль, которая начисляется только на первоначальную сумму за каждый определённый промежуток времени.

Сложный процент – за расчётный период прибыль начисляется от той суммы, которая была на счёте на момент начала расчётного периода.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Умение решать задачи на проценты поможет вам во многих жизненных ситуациях.

1 % от некоторого числа или величины – это сотая доля этого числа или величины.

Выделяют три основных типа задач на проценты:

Задачи на проценты

1 тип. Найти проценты от числа х

Решение

Шаг 1. Заменить проценты десятичной дробью (например, 15 % = 0,15).

Шаг 2. Умножить заданное число на получившуюся дробь.

Например, найти 15 % от 80.

15 % = 0,15

80 ∙ 0,15 = 12

Ответ: 15 % от 80 равно 12.

2 тип. Найти число х по его процентам

Решение

Шаг 1. Заменить проценты десятичной дробью (например, 15 % = 0,15).

Шаг 2. Разделить заданное число на получившуюся дробь.

Например, найти число х, если 15 % от него равны 12.

15 % = 0,15

12 : 0,15 = 1200 : 15 = 80

Ответ: если 15 % числа равны 12, то число, принятое за 100 % равно 80.

3 тип. Найти процентное отношение между числами

Решение

Шаг 1. Выполнить деление части на целое.

Шаг 2. Заменить получившуюся десятичную дробь на проценты.

Например, сколько процентов составляет 12 от 80?

12 : 80 = 0,15

0,15 = 15 %

Ответ: 12 составляет 15 % от 80.

Задача

Завод выпускает в год 1500 автомобилей. В течение следующих двух лет производство будет увеличиваться на 10 % в год от этого количества.

Сколько автомобилей будет выпущено через два года?

Решение

10 % от 1500 = 150 (автомобилей) – прирост производства за год.

Через 1 год будет 1500 + 150 = 1650 (автомобилей).

Прирост количества выпускаемых автомобилей в год не меняется.

Через 2 года будет 1650 + 150 = 1800 (автомобилей).

Ответ: через 2 года будет выпущено 1800 автомобилей.

Если проценты начисляют на первоначальную сумму вклада, то говорят, что начисляют простые проценты.

Формула для вычисления простых процентов

где S – это итоговая сумма,

a – это первоначальная сумма,

n – количество расчётных периодов,

p – количество процентов.

Решим задачу, используя эту формулу.

Задачи на сложные проценты

В банк положили 5000 рублей под 10 % годовых. Сколько денег будет на счету через два года?

Решение

10 % от 5000 = 500 (руб.)

Через 1 год на счету будет:

5000 + 500 = 5500 (руб.)

По условию задачи за каждый год сумма вклада увеличивается на 10 % от суммы, находившейся на счету в начале года.

В начале второго года на счету будет 5500 руб.

10 % от 5500 рублей = 550 (руб.)

Через 2 года на счету будет:

5500 + 550 = 6050 (руб.)

Ответ: через 2 года на счету будет 6050 рублей.

Прирост вклада меняется ежегодно.

Если в каждом расчётном периоде начисленный процент прибыли прибавляют к имеющемуся вкладу и в следующем периоде процент начисляется уже на эту сумму, то такие проценты называют сложными.

Формула для вычисления сложных процентов

где S – это итоговая сумма,

a – это первоначальная сумма,

n – количество расчётных периодов,

p – количество процентов.

Решим задачу, используя эту формулу.

Ответ: через 2 года на счету будет 6050 рублей.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Впишите верный ответ

Вкладчик снял в банке 234 тысячи рублей, что составило 36 % вклада. Определите первоначальную сумму вклада.

Решение

Необходимо найти число, принятое за 100 % (задача 2 типа).

Ответ: сумма первоначального вклада 650 тысяч рублей.

Тип 2. Подчеркните правильный ответ

Городской бюджет составляет 45 млн рублей. Расходы на образование составили 12 %. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

Варианты ответов: 4,5 млн рублей; 540000 рублей; 5400000 рублей.

Решение

Нужно найти процент от числа (1-й тип задач).

Выбираем ответ: 5400000 рублей.