Урок 9. Решение уравнений в целых числах -

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №9. Решение уравнений в целых числах.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

понятие диофантовых уравнений;
теоремы для решения уравнений в целых числах;
основные методы решения уравнений в целых числах.

Глоссарий по теме

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида

P(x1, x2, …, xn) = 0,

где P(x1, …, xn) — многочлен с целыми коэффициентами.

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с<d, то оно равносильно уравнению , в котором НОД = 1.

Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

х = + bt, у = -at, где — целое решение уравнения ах + bу = 1,

t – любое целое число.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017. Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например, греческий математик Пифагор (VI век до н.э.), александрийский математик Диофант (III век н.э.), П.Ферма(XVII в.), Л.Эйлер(XVIII век), Ж.Л.Лагранж(XVIII век), П.Дирихле(XIX век), К.Гаусс(XIX век), П.Чебышев(XIX в.) и многие другие.

Решение уравнений в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

Ещё в начальной школе на уроках математики перед нами часто ставили задачу выяснить, при каких допустимых значениях буквы обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрели как на уравнение относительно указанной неизвестной величины. В восьмом классе мы познакомились с решением квадратных уравнений с одной переменной. Но, готовясь к олимпиадам, рассматривая контрольно- измерительные материалы Единого государственного экзамена встречаемся с заданиями, в которых предлагали уравнения с двумя переменными.

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида

P(x1, x2, …, xn) = 0,

где P(x1, …, xn) — многочлен с целыми коэффициентами.

Применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числах.

Для решения в целых числах уравнения вида ах + by = c, где а, b, c – целые числа, отличные от нуля, приведем ряд теоретических положений, которые позволят установить правило решения. Эти положения основаны также на уже известных фактах теории делимости.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

(Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением наибольшего общего делителя двух чисел через сами эти числа.)

Доказательство теоремы основано на использовании равенства алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (наибольший общий делитель выражается через неполные частные и остатки, начиная с последнего равенства в алгоритме Евклида).

Пример.

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1232 и 1672.

Решение.

1. Составим равенства алгоритма Евклида:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, т.е. (1672,352) = 88.

2) Выразим 88 последовательно через неполные частные и остатки, используя полученные выше равенства, начиная с конца:

88 = 440 — 352∙1 = (1672 — 1232) — (1232 — 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 — 1232∙4, т.е. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1. Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения ах + bу = 1, если НОД (а, в) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и в.

Пример.

Найти целое решение уравнения 15х + 37у = 1.

Решение.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 — 7∙2 = 15 — (37 — 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

т.е. — решение данного уравнения.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Пример.

Найти целое решение уравнения 16х — 34у = 7.

Решение.

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с<d, то оно равносильно уравнению , в котором НОД = 1.

При доказательстве теоремы следует показать, что произвольное целое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и обратно.

Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

х = х0с + bt, у = y0c-at, где х0, y0 — целое решение уравнения ах + bу = 1,

t – любое целое число.

При доказательстве теоремы следует показать, во-первых, что приведенные формулы действительно дают решения данного уравнения и, во-вторых, что произвольное целое решение этого уравнения заключено в приведенных формулах.

Приведенные теоремы позволяют установить следующее правило решения в целых числах уравнения ах+ bу = с НОД(а, b) = 1:

Находится целое решение уравнения ах + bу = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел а и b (существуют и другие способы отыскания целых решений этого уравнения, например при использовании цепных дробей);
Составляется общая формула целых решений данного уравнения х = х0с + bt, у = y0c — at, где х0, y0 — целое решение уравнения ах + bу = 1, t – любое целое число.

Придавая t определенные целые значения, можно получить частные решения данного уравнения: наименьшие по абсолютной величине, наименьшие положительные (если можно) и т.д.

Пример.

Найти целые решения уравнения 407х — 2816у = 33.

Решение.

1. Упрощаем данное уравнение, приводя его к виду 37х — 256у = 3.

2.Решаем уравнение 37х — 256у = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 — 3∙11 = 256 — 37∙6 — 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 — 37∙83 =

= 37∙(-83) — 256∙(-12),

т.е. х0= -83, y0= -12.

3. Общий вид всех целых решений данного уравнения:

х = -83∙3 — 256t = -249 — 256t,

у = -12∙3 — 37 t = -36 — 37 t.

Положив t = -1, получим х1= 7, у1= 1 и общие формулы решений примут вид: х = 7 — 256t, у = 1-37t.

2. Метод полного перебора всех возможных значений переменных,

входящих в уравнение.

Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49х + 51у = 602.

Решение:

Выразим из уравнения переменную х через у , так как х и у – натуральные числа, то

602 — 51у ≥ 49,

51у≤553,

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х=5, у=7.

Ответ: (5;7).

3. Решение уравнений методом разложения на множители.

Диофант наряду с линейными уравнениями рассматривал квадратные и кубические неопределенные уравнения. Решение их, как правило, сложно.

Рассмотрим такой случай, когда в уравнениях можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Решить уравнение в целых числах: х2 + 23 = у2

Решение:

Перепишем уравнение в виде: у2 — х2 = 23, (у — х)(у + х) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

; ; ; ;

Решая полученные системы, находим:

; ;;;

Ответ: (-11;12);(11;12);(11;-12);(-11;-12).

4. Выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби.

Решить уравнение в целых числах: х2 + ху – у – 2 = 0.

Решение:

Выразим из данного уравнения у через х:

у(х — 1) =2 — х2,

Так как х, у – целые числа, то дробь должна быть целым числом.

Это возможно, если х – 1 =

; ;

Ответ: (0; -2); (2; -2).

5. Методы, основанные на выделении полного квадрата.

Найдите все целочисленные решения уравнения: х2 — 6ху + 13у2 = 29.

Решение:

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты,

х2 — 6ху + 13у2 = (х2 — 6ху + 9у2) + 4у2 = (х — 3у)2 + (2у)2 = 29, значит (2у)2 29.

Получаем, что у может быть равен .

1. у = 0, (х — 0)2 = 29. Не имеет решений в целых числах.

2. у = -1, (х + 3)2 + 4 =29, (х + 3)2 = 25, х + 3 = 5 или х + 3 = -5

х=2 х=-8

3. у = 1, (х — 3)2 +4 =29,

(х — 3)2 =25, х – 3 = 5 или х – 3 = -5

х = 8 х = -2

4. у = -2, (х + 6)2 + 16 = 29, (х + 6)2 = 13. Нет решений в целых числах.

5. у=2, (х-6)2+16=29, (х-6)2=13. Нет решений в целых числах.

Ответ: (2; -1); (-8; -1); (8; 1); (-2; 1).

6. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных

относительно одной из переменных.

Решить уравнение в целых числах: 5х2+5у2+8ху+2у-2х+2=0.

Решение:

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

5х2 + (8у — 2)х + 5у2 + 2у + 2 = 0

D = (8у — 2)2 — 4·5(5у2 + 2у + 2) = 64у2 — 32у + 4 = -100у2 — 40у – 40= = -36(у2 + 2у + 1) = -36(у + 1)2

Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.

-36(у + 1)2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1.

Ответ: (1; -1).

7. Оценка выражений, входящих в уравнение.

Решить в целых числах уравнение:

(х2 + 4)(у2 + 1) = 8ху

Решение:

Заметим, что если – решение уравнения, то – тоже решение.

И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим:

Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши,

Урок 9. Решение уравнений в целых числах ,

тогда их произведение , значит,

Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение.

Ответ: (2; 1); (-2; -1)

8.Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными.

Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными: х2 + у2= z2.

Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т.е. прямоугольник треугольников, у которых и катеты х,у и гипотенуза z выражаются целыми числами.

По формуле х = uv, , где u и v – нечетные взаимно простые числа (u > v > 0) можно найти те решения уравнения х2 + у2 = z2, в которых числа х,у и z не имеют общих делителей (т.е. взаимно простые).

Для начальных значений u и v формулы приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

32 + 42 = 52 (u = 1, v = 3), 52 + 122 = 132 (u = 1, v = 5), 152 + 82 = 172 (u = 3, v = 5)

Все остальные целые положительные решения этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах, на произвольный общий множитель а.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка

Решите уравнение 9х+22у-1=0

Выпадающий список:

(-5; 2)
(5; 2)
(-5; -2)
(5; -2)

Решение: Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой 2:

1. 22 = 9 ∙ 2 + 4,

9 = 4 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 9 — 4∙2 = 9 — (22 — 9∙2) ∙2 = 9∙5 + 22∙(-2),

т.е. х0= 5, у0= -2 — решение данного уравнения

Ответ: 4. (5; -2)

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Найдите целое решение уравнения 3х+9у=3

х=____

у=____

Решение: Решим данное уравнение: 3х+9у=3

Разделим обе части уравнения на 3, получим:

х+3у=1

3 = 1 ∙ 2 + 1
1 = 3 — 1∙2, т.е. х0= 1, у0= 0 — решение данного уравнения

Ответ: х= 1, у= 0.