Математический бой, 5 класс. Задания с ответамиТехнология проведения математического боя
Математический бой — это соревнование двух команд в решении нестандартных задач, подобранных жюри, в умении преподнести свои решения у доски, в умении проверять (оппонировать) чужие решения. Команды получают одинаковые задания и решают их в разных помещениях в течение заданного времени. Затем проходит собственно математический бой по всем правилам, которых довольно много. Перед этим проводится конкурс капитанов, который позволяет капитану, выигравшему конкурс, совместно с командой решить, вызвать ли другую команду на бой с решением задачи под определенным номером или быть вызванными командой соперника. Эта игра проводится без участия учителя, он не участвует ни в процессе решения задач, ни в помощи команде в ходе игры. В игре принимают участие 2 команды, которые «бьются» между собой, решая по очереди 6 непростых задач.
Команда состоит из 6 человек, ребята должны сами выбрать капитана, который распределяет 6 задач между участниками, сообща решают эти задачи. Капитан должен проследить, чтобы все задачи были решены. Затем решенные задачи распределяются между участниками, которые будут представлять решение задачи, если команде достанется данная задача, или оппонировать докладчику другой команды, стараясь своими вопросами поставить его в тупик. В ходе игры можно брать 6 тайм-аутов по 30 секунд, чтобы команда могла помочь докладчику или оппоненту. Решение о тайм-ауте принимает капитан или его заместитель. Команда действует как одно целое. Каждый участник ценен своим вкладом в общее дело. Какая же ответственность ложится на капитана и всех участников игры!
Надо отметить очень ценный воспитательный момент: во время боя участники обращаются друг к другу корректно, называя оппонента на «Вы». Команды должны вести себя спокойно, не допускать подсказок, выкриков, шума. За несоблюдение этих правил команда наказывается штрафными очками. Если в школе задачи решаются для учителя, а на олимпиадах — для себя, то во время математического боя — полная самоорганизация учащихся, вся ответственность ложится на самих ребят, и результат — осязаемый, зависящий от множества удач и просчётов участников боя, переживаемый у всех на глазах. Редко можно увидеть такой энтузиазм в решении трудных задач и такую мобилизацию всех сил и способностей учащихся, как во время проведения математического боя. После удачно проведённого математического боя у учеников пробуждается «вкус» к хорошей работе: хочется выступить ещё раз, но как следует учесть все свои промахи. Поэтому проиграть другой команде бывает подчас полезнее, чем победить. Математический бой напоминает турнир рыцарей, где вопросы честного ведения боя (по всем правилам, которых немало) стоят на первом месте. Как и всякий рыцарь, капитан побеждённой команды должен иметь мужество поздравить капитана-победителя, ибо главное не победа, а искусство коллективного разума и творческая работа каждого члена команды.
Правила математического боя.
Общие положения.
Математический бой — это соревнование двух команд в правильности и скорости решения математических задач. Сначала команды одновременно получают условия задач и определённое время на их решение (например, 1 час или 1 урок). При решении задач команда может использовать справочную литературу, но не имеет права общаться ни с кем, кроме представителя жюри конкурса. Представитель жюри обязан давать командам все необходимые пояснения к текстам задач. Он также следит за тем, чтобы те существенные пояснения в тексте задачи, которые могут повлиять на её решение, доводились до сведения всех команд, решающих данную задачу.
Команда выбирает капитана команды и его заместителя. Во время решения задач главная обязанность капитана — координировать действия членов команды так, чтобы имеющимися силами решить как можно больше задач. Для этого капитан с учётом пожеланий членов команды распределяет между ними задачи для решения, следит, чтобы каждая задача была решена, организует проверку найденных решений. Капитан заранее определяет тактику команды в предстоящем бою.
По истечении заданного времени команды, их болельщики, зрители и члены жюри собираются в одном помещении. Членам жюри передаются списки команд с указанием их названия, школы, имен капитана и заместителя капитана команды.
Бой начинается с конкурса капитанов команд. В конкурсе капитанов может участвовать любой представитель команды. Жюри предлагает капитанам команд задачу. Если какой-либо капитан дает правильный ответ, то он побеждает, а если неправильный, то побеждает его соперник. На решение задачи в конкурсе капитанов отводится 2 минуты. Если за это время ни один из капитанов не ответил верно, жюри заменяет задачу.
Команда, капитан которой победил в конкурсе капитанов, получает право первого хода. Она может вызвать другую команду на поединок с какой-либо задачей или выразить желание быть вызванной другой командой.
Затем команды в соответствии с правилами боя представляют друг другу решения задач. Команда, получившая вызов, представляет докладчика задачи, который должен предложить у доски полное ее решение. Другая команда выставляет оппонента, который ищет в решении докладчика ошибки, пробелы, недочеты и т. п. При этом выступления докладчика и оппонента оцениваются жюри (в баллах). Если команды, обсудив решение, задачу не решили до конца или обнаружили не все допущенные в решении ошибки, то часть баллов жюри оставляет как штрафные.
Побеждает команда, которая по окончании боя набирает большое количество баллов. Если команды набирают одинаковое число баллов, то победителем объявляется команда, чей капитан выиграл в конкурсе капитанов.
Порядок вызовов на бой
Бой состоит из раундов. В начале каждого раунда капитан одной из команд вызывает другую на решение одной из задач, которая ещё не решалась соперниками (например: «Мы вызываем команду соперника на задачу № 4»), После этого капитан вызванной команды сообщает, принимает ли она вызов, то есть согласна ли она предложить решение задачи, на которую была вызвана. Если согласна, то команда выставляет докладчика, а вызвавшая команда — оппонента. Если команда не согласна, то происходит проверка корректности вызова — вызывающая команда должна доказать, что она решила эту задачу. Ею выставляется докладчик, а отказавшаяся отвечать команда выставляет оппонента. После раунда жюри определяет, был вызов корректным или нет.
Если вызов команды оказывается некорректным, то данная команда должна снова вызывать соперника в следующем раунде. Во всех остальных случаях в следующем раунде вызывает соперников на бой та команда, которая была вызвана до этого.
В любой момент боя вызывающая команда может отказаться от вызова. Это означает, что у команды больше нет решённых задач, а делать вызов, который может оказаться некорректным, она не хочет. Тогда другая команда получает право предлагать решения оставшихся задач, а команда, отказавшаяся делать вызов, выставляет оппонентов и получает баллы за оппонирование.
Если имела место «проверка на корректность» и жюри считает, что оппонент не сумел доказать отсутствие решения задачи, то вызов признаётся корректным независимо от того, было ли приведено решение задачи.
Бой заканчивается, когда не остаётся необсуждённых задач либо когда одна из команд отказывается от вызова, а другая команда не желает больше представлять решения оставшихся задач.
Ход раунда
В начале раунда докладчик представляет решение задачи. Доклад должен содержать ответы на все поставленные в задаче вопросы и доказательство правильности и полноты полученных ответов. В частности, докладчик обязан доказать каждое сформулированное им промежуточное утверждение либо сослаться на него как общеизвестное, то есть входящее в обычный школьный курс. Докладчик должен стремиться к ясности и краткости своего изложения. Время на доклад ограничивается 15 минутами.
Если докладчик не успевает представить решение задачи за это время, жюри имеет право остановить его доклад в любой момент и перейти к его обсуждению.
Капитан команды может во время раунда принять решение о замене докладчика (оппонента) или о полуминутном перерыве для консультации докладчика (оппонента) с командой. При этом соперники тоже могут полностью воспользоваться этим перерывом. Во время боя обращаться к жюри или к соперникам имеет право только капитан. Если капитан является докладчиком, он оставляет за себя заместителя, исполняющего в это время обязанности капитана. Каждая команда имеет право взять в течение одного боя не более 6 полуминутных перерывов. Всякое другое общение команд с выступающими во время раунда запрещено и наказывается штрафом в 2 балла. Аналогичным штрафом наказывается общение команды во время раунда со зрителями и болельщиками. За некорректное поведение или шум команда может быть оштрафована на 1 балл.
Каждый член команды имеет право выйти к доске в качестве докладчика или оппонента не более двух раз за бой. Команда имеет право не более трёх раз за бой заменять докладчика или оппонента, причём каждый раз выход засчитывается как тому участнику, кого заменили, так и тому, кто вышел на замену. Кроме того, при замене игроков время, отведённое на перерывы, уменьшается на 1 минуту. Эту минуту можно использовать непосредственно перед заменой, а можно и не использовать — в последнем случае команда соперников тоже не имеет права пользоваться ею.
Докладчик не имеет права брать с собой текст записанного решения или какой-то его части. Однако он может иметь чертежи к задаче и с отдельного разрешения жюри — вычисления.
Докладчик имеет право:
• До начала выступления вынести на доску всю необходимую ему информацию (чертежи, вычисления и т. п.), при этом время докладчика отсчитывается с момента выхода к доске, а не с начала выступления.
• Не отвечать на вопросы оппонента до окончания доклада.
• Просить у оппонента разрешения не доказывать очевидное, с точки зрения докладчика, утверждение.
• Просить оппонента уточнить и пояснить свой вопрос.
• Отказаться отвечать на вопрос, сказав, что:
а) он не имеет ответа на вопрос;
б) он уже ответил на этот вопрос, объяснив, когда и каким образом он это сделал;
в) вопрос некорректен или не имеет отношения к обсуждаемой задаче.
• В случае несогласия оппонента с основаниями пунктов б) и в) решение об ответе на заданный вопрос принимает жюри боя.
Докладчик не обязан:
• Излагать способ получения ответа, если он может доказать правильность и полноту своего ответа.
• Сравнивать свой метод решения с другими возможными методами решения этой задачи с точки зрения краткости, красоты, пригодности для решения других задач и т. д.
После окончания доклада оппонент имеет право задавать вопросы докладчику. Если в течение минуты оппонент не задал ни одного вопроса, то считается, что у него нет вопросов. Если докладчик в течение минуты не начинает отвечать на вопрос, то считается, что у него нет ответа.
В качестве вопроса оппонент может:
• Попросить докладчика повторить любую часть доклада, а с разрешения жюри и весь доклад, но не более одного раза.
• Попросить уточнения любого из высказываний докладчика, в том числе дать определение любого использованного докладчиком термина, не входящего в стандартный школьный курс.
• Попросить докладчика доказать сформулированное им неочевидное и малоизвестное утверждение.
После ответа на вопрос оппонент может выразить удовлетворённость или мотивированную неудовлетворённость ответом.
Докладчик и оппонент обязаны:
• Формулировать свои вопросы в вежливой и корректной форме, обращаться только на «Вы».
• Критикуя какие-то рассуждения, не допускать критики личности автора.
• Повторять и уточнять свои утверждения и вопросы по просьбе жюри.
В конце обсуждения оппонент обязан дать оценку докладу и обсуждению доклада в одной из следующих форм:
а) признать решение полностью правильным и согласиться с ним;
б) признать решение в основном правильным, но имеющим недостатки и/или пробелы с обязательным их указанием;
в) признать решение неправильным с указанием ошибок в обоснованиях ключевых утверждений доклада или контрпримеров к ним, либо указанием существенных пробелов в обоснованиях или плане решения.
Если оппонент согласился с решением и команда, пока он находится у доски, не взяла 30-секундный перерыв, он и его команда в этом раунде больше не участвуют.
После окончания диалога докладчика и оппонента жюри задаёт свои вопросы. При необходимости оно может вмешиваться в обсуждение и раньше, если обсуждение заходит в тупик.
Если оппонент доказал, что у докладчика нет правильного решения задачи, причём жюри с этим согласно и вызов на эту задачу был принят, то оппонент получает право представить своё решение. При этом происходит смена ролей: бывший докладчик становится оппонентом и может зарабатывать баллы за оппонирование.
Начисление баллов
Каждая задача оценивается в 12 баллов, которые по итогам раунда распределяются между докладчиком, оппонентом и жюри.
1. Если докладчик представил правильное и полное решение, то 12 баллов получает он.
2. Если в решении докладчика были ошибки, а оппонент признал решение правильным и согласился с ним, он получает 0 баллов. В этом случае баллы за оппонирование получает жюри в зависимости от серьёзности допущенных докладчиком ошибок. Если при этом решение докладчика опровергнуто жюри, докладчик может получить какие-то баллы (но не более 5) за продвижение в решении.
3. Если оппонент сумел найти в решении более или менее существенные ошибки, жюри прежде всего решает вопрос о том, удалось ли оппоненту доказать, что докладчик не представил решения задачи. Если это оппоненту не удалось, то он может получить за оппонирование до 5 баллов в зависимости от серьёзности указанных недостатков и от того, насколько докладчику удалось их исправить. В зависимости от серьёзности замечаний жюри остальные баллы распределяются между докладчиком и жюри аналогично пункту 2. На этом раунд заканчивается.
4. Если же оппонент сумел доказать, что решения у докладчика нет, а жюри с ним согласно, он получает 6 баллов за оппонирование, и, если вызов был принят, имеет право представить своё решение. Если оппонент отказывается это делать, докладчик может получить баллы за продвижение в решении задачи.
5. Если произошла смена ролей и оппонент становится докладчиком, то по той же схеме разыгрываются оставшиеся баллы. Бывший докладчик, став оппонентом, может получить баллы за оппонирование.
6. Если, получив отказ от вызова, капитан вызывающей команды сразу признаётся, что у его команды нет решения данной задачи, команда соперников получает 6 баллов за оппонирование, а вызов признаётся некорректным. Докладчик и оппонент в этом случае не назначаются и выходы к доске не засчитываются.
Жюри математического боя
Жюри толкует правила боя, а в случаях, не предусмотренных правилами, оно принимает решение по своему усмотрению.
Жюри обязано мотивировать свои решения, не вытекающие непосредственно из правил боя. Решение жюри является обязательным для команд. В исключительных случаях, в случае несогласия команды с решением жюри, капитан команды имеет право пригласить для разбора ситуации председателя жюри или его заместителя.
Жюри может снять вопрос оппонента, если он задан не по существу или на него уже дан ответ, прекратить доклад или оппонирование, если они затягиваются. Если жюри не может быстро разобраться в решении, оно может с согласия обоих капитанов выделить своего представителя, который продолжит обсуждение задачи совместно с докладчиком и оппонентом в другом помещении. При этом бой продолжается по другим задачам, а очки по этой задаче начисляются позже.
Жюри ведёт протокол боя, а также его копию на доске (правила действуют только на время проведения турнира).
Протокол математического боя
Математический бой №1
Задача 1.
Мотоциклист выехал из А в В. Если он будет ехать со скоростью 50 км/ч, то опоздает на 2 часа, если же будет ехать со скоростью 65 км/ч, то прибудет на час раньше срока. Каково расстояние между А и 5? Сколько часов он должен ехать, чтобы прибыть ровно в срок?
Ответ:
(50 · 2 + 65 • 1): (65 — 50) = 11 (часов) — нужно, чтобы прибыть в срок.
50 • (11 + 2) = 650 (км) — расстояние от А до В.
Задача 2.
В трёх ящиках 300 яблок. Число яблок первого ящика составляет половину числа яблок второго и треть числа яблок третьего ящиков. Сколько яблок в каждом ящике?
Ответ:
300 : (1 + 2 + 3) = 50 (яблок) — в первом ящике; 50 • 3 = 150 (яблок) — в третьем ящике; 50 • 2 = 100 (кг) — во втором ящике.
Задача 3.
В ящиках № 1, № 2, № 3 лежит по одному шарику: красный, синий и зелёный. На первом ящике написано: «Красный», на втором: «Зелёный», на третьем: «Красный или синий». Но ни одна надпись не соответствует действительности. Где какой шарик?
Ответ:
В третьем ящике — зелёный шарик; в первом — синий шарик; во втором ящике — красный шарик.
Задача 4.
Три туриста решили покушать вместе, для этого один дал 2 булки, второй — 3 булки, а третий внёс 50 копеек. Съели они одинаково. Сколько из этих денег должен взять первый турист и сколько — второй?
Ответ:
50-3 = 150 (коп.) — стоимость обеда для троих туристов; 150 : (3 + 2) = 30 (коп.) — стоимость одной булки; 30 • 2 — 50 = = 10 (коп.) — отдать первому туристу; 30 • 3 — 50 = 40 (коп.) — второму туристу.
Задача 5.
Для нумерации страниц потребовалось 324 цифры. Сколько страниц в книге?
Ответ:
Нужно 9 цифр для однозначных чисел; 90 • 2 = 180 (цифр) — для двузначных чисел, то есть для 99 страниц потребуется:
9 + 180 = 189 цифр. Осталось: 324 — 189 = 135 (цифр);
135 : 3 = 45 (страниц) — трёхзначных.
Итого: 99 + 45 = 144 (страницы).
Задача 6.
В три палатки привезли помидоры. Сколько помидоров привезли в каждую палатку, если в первую и во вторую палатки привезли вместе 400 кг, во вторую и третью вместе — 300 кг, в первую и третью вместе — 440 кг?
Ответ:
(400 + 300 + 440) : 2 = 570 (кг) — привезли во все три палатки; 570 — 400 =170 (кг) — в III палатку; 570 — 300 = 270 (кг) — в I палатку; 400 — 270 = 130 (кг) — во II палатку.
Математический бой №2
Задача 1.
Пять первоклассников стояли в шеренге и держали 37 флажков. У всех ребят справа от Тани 14 флажков, справа от Яши — 32, справа от Веры — 20 флажков, справа от Максима — 8. Сколько флажков у Даши?
Ответ:
Очевидно, что чем больше флажков справа от первоклассника, тем «левее» его место в шеренге. Справа от Максима кто-то стоит (иначе справа от него не было бы флажков). Но все, кроме Даши, стоят левее Максима. Значит, справа от Максима стоит Даша и держит 8 флажков.
У Максима: 14-8 = 6 (флажков); у Тани: 20 — (8 + 6) = 6 (флажков); у Веры: 32 — (8 + 6 + 6) = 12 (флажков); у Яши: 35 — (8 + 6 + + 6 + 12) = 3 (флажка).
Задача 2.
В записи 8-значного числа используются по 2 раза цифры 1, 2, 3, 4, причём первая цифра — 4. Интересно, что между двумя единицами стоит одна цифра, между двумя двойками — две цифры, между двумя тройками — три цифры, между двумя четвёрками — четыре цифры.
Что это за число?
Ответ:
Число 41312432.
Задача 3.
Вова и Дима — друзья, а их сёстры — подруги. Известно:
а) что Вова — самый младший из детей, а Зина — самая старшая;
б) что Диме и его сестре столько же лет, сколько Вове и его сестре;
в) что всем детям вместе 48 лет, причём Дима на 1 год старше своего товарища, а Люда на 2 года старше своего брата.
Сколько лет каждому из детей? Как звали сестру Вовы?
Ответ:
Пусть х лет — Вове, (х + 1) год — Диме, так как Диме и его сестре столько же лет, сколько Вове и его сестре. Зина — самая старшая, а Вова — самый младший; значит, Зина — сестра Вовы. Так как всем вместе 48 лет, то каждой паре брата и сестры по 24 года. Так как Люда на 2 года старше своего брата (а она сестра Димы), то ей (х + 1) + 2 года.
(х + 1) + ((х + 1) + 2) = 24, отсюда х = 10 — Вове 10 лет; Диме — 11 лет; Люде — 13 лет; Зине — 14 лет; сестру Вовы зовут Зина.
Задача 4.
На одном острове живут правдолюбы и лжецы. Первые всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Приезжий спросил у островитянина, кто он. Не расслышав ответа, он спросил у другого островитянина, что сказал первый. Второй островитянин ответил: «Лжец». Кем был этот второй островитянин?
Ответ:
Первый островитянин мог ответить, что он правдолюб в любом случае. Действительно, если он правдолюб, то он ответит правду; если же он лжец, то он скажет неправду. Второй сказал слово «лжец», значит, он сказал неправду и, следовательно, он сам является лжецом.
Задача 5.
Что быстрее — проехать весь путь на велосипеде или половину пути проехать на мотоцикле, который движется вдвое быстрее велосипеда, а вторую половину — пешком, что вдвое медленнее, чем проехать на велосипеде?
Ответ:
Пока идёшь пешком, на велосипеде проедешь весь путь, так как скорость на велосипеде вдвое больше. Поскольку на преодоление половины пути на мотоцикле потребуется некоторое время, то ясно, что быстрее проехать весь путь на велосипеде.
Задача 6.
В магазине было 6 бочек краски, вмещающих 31 л, 20 л, 19 л, 18 л, 16 л и 15 л краски. В первый день продали две бочки, а во второй день — три. Известно, что в первый день продали краски вдвое меньше, чем во второй день (бочки не раскупоривались). Из 6 бочек на складе осталась только одна бочка. Какая именно осталась бочка, сколько в ней литров?
Ответ:
В первый день продали 18- и 15-литровые бочки, во второй день — 16-, 19- и 31-литровые бочки. В самом деле: 15 + 18 = 33 (литра), 16 + 19 + 31 =66 (литров), то есть во второй день продали в 2 раза больше. Осталась 20-литровая бочка краски.
Математический бой №3
Задача 1.
Десять слив имеют такую же массу, как 3 яблока и 1 груша, а 6 слив и 1 яблоко — как 1 груша. Сколько слив надо взять, чтобы их масса была равна массе одной груши?
Ответ:
3 (ябл.) + 1 (гр.) = 10 (сл.); 1 (гр.) = 6 (сл.) + 1 (ябл.); 1 (ябл.) = 1 (сл.); 1 гр. = 7 сл.
В результате получается, что 1 груша уравновесит 6 слив.
Задача 2.
В семье трое детей. Тане вдвое больше лет, чем будет Ане тогда, когда Наташе исполнится столько же лет, сколько Тане сейчас. Кто из них старший, младший и средний по возрасту?
Ответ:
Таня — самая старшая; Наташа — средняя; Аня — младшая сестра.
Задача 3.
Медведь, Волк и Лиса разговаривали на полянке. Медведь говорит: «Лиса не самая хитрая». Лиса говорит: «Я хитрее медведя». Волк говорит: «Лиса хитрее меня». Два зверя сказали правду, а самый хитрый зверь солгал. Кто самый хитрый?
Ответ:
Если самый хитрый — Медведь, то он солгал, и Лиса — самая хитрая. Тогда и Лиса — самая хитрая, и Медведь (по предположению); но 2 зверя не могут быть самыми хитрыми. Значит, Медведь сказал правду, что Лиса не самая хитрая; тогда самый хитрый зверь — это Волк. Действительно, в этом случае Волк солгал, Медведь сказал правду, Лиса тоже сказала правду.
Получается, что самый хитрый зверь — Волк.
Задача 4.
Мальчики пошли на реку купаться. Когда 8 человек из них
переплыли на другую сторону, а потом переплыли ещё часть
оставшихся, то переплывших ребят оказалось вдвое больше, чем оставшихся. Сколько мальчиков пошли купаться?
Ответ:
24 мальчика пошли купаться.
Задача 5.
Можно ли 9 гирь массой 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 граммов разложить на 3 части, равных по массе?
Ответ:
Можно: 2 + 9 + 4(г) и 1+8 + 6 (г), и 3 + 5 + 7 (г);
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 (г); 45 : 3 = 15 (г).
Задача 6.
В очереди в школьной столовой стоят Вика, Тоня, Боря, Денис и Алла. Вика стоит впереди Тони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. В каком порядке стоят ребята?
Ответ: Алла, Вика, Боря, Тоня, Денис.
Математический бой № 4 (между 5 классами)
Задача 1.
Три подруги вышли в белом, зелёном и синем платьях. Их туфли были тех же цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в зелёных туфлях. Определите цвет платья каждой из подруг.
Ответ:
Наташа была в зелёных туфлях, а Валя не была в белых, то есть у Вали — синие туфли, а у Ани — белые. Но тогда и платье у Ани белое, а у Вали не синее, то есть зелёное.
В итоге получаем: Аня — в белом платье, Валя — в зелёном, Наташа — в синем.
Задача 2.
В мешке лежит 64 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 23 кг гвоздей?
Ответ:
64 = 32 + 32 (кг); 16 + 16; 8 + 8; 4 + 4; 2 + 2; 1 + 1. 23 (кг) =16 + + 4 + 2 + 1. Вариантов много; главное — получить 1 кг.
Задача 3.
Два человека зашли в столовую. Один заказал 3 блюда, другой — 2. Все блюда стоят одинаково. К обедающим присоединился третий, и все трое съели поровну. Третий внёс 500 рублей. Сколько из этих денег следует отдать каждому из двух посетителей столовой?
Ответ:
500 рублей — стоимость 1 обеда; весь обед стоит: 500 • 3 = = 1500 (рублей), что составляет 3 + 2 = 5 (частей). 1500 : 5 = = 300 (руб.) — стоит 1 часть. 300 • 3 — 500 = 4б0 (руб.) — надо отдать I посетителю, 300 • 2 — 500 = 100 (руб.) — отдать II посетителю.
Задача 4.
Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Лодка небольшая: в ней может поместиться крестьянин, а с ним или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как перевёз свой груз крестьянин?
Ответ:
Ясно, что приходится начинать с козы. Крестьянин, перевезя козу, возвращается и берёт волка, которого перевозит на другой берег, где его и оставляет, но зато сажает в лодку и везёт обратно козу. Здесь он оставляет её и перевозит к волку капусту. Вслед за тем, возвратившись, он перевозит козу, и переправа оканчивается благополучно.
Задача 5.
Вова хвастается, что может съесть 600 граммов варенья за 6 минут, а его друг говорит, что он съест варенье в 2 раза быстрее. За какое время они смогли бы съесть это варенье вместе?
Ответ:
600 : 6 = 100 (г) — съест Вова за 1 минуту; а друг съест за 1 минуту: 100 • 2 = 200 (г); оба они за 1 минуту съедят 200 + 100 = 300 (г), а всё варенье мальчишки съедят за 600 : 300 = 2 (мин).
Получается, что за 2 минуты.
Задача 6. Задача Эйлера.
Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у неё половину всех яиц и ещё пол-яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца. Третья купила всего одно яйцо. После этого у крестьянки не осталось ничего. Сколько яиц она принесла на базар?
Ответ:
Задачу решают с конца. После того, как вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и ещё пол-яйца, у крестьянки осталось только одно яйцо. Значит, полтора яйца составляет вторую половину того, что осталось после первой продажи. Ясно, что полный остаток составляет три яйца. Прибавив пол-яйца, получим половину того, что имелось у крестьянки первоначально. Итак, число яиц, принесённых ею на базар, — семь.
Математический бой №5
Задача 1.
3 охотника варили кашу. Один положил 2 кружки крупы, второй — 1 кружку, а у третьего крупы не было. Каши же они съели поровну. Третий охотник сказал: «Спасибо за кашу!» — и отдал 5 патронов. Как поделить эти патроны между двумя охотниками?
Ответ: Первому охотнику нужно отдать все патроны.
Задача 2.
Чашка и блюдце вместе стоят 25 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 88 рублей. Найти цену чашки и блюдца.
Ответ: 13 рублей — стоит чашка и 12 рублей — блюдце.
Задача 3.
Аладдин должен вынести из пещеры с сокровищами 10 монет. Чтобы выйти из пещеры, нужно последовательно пройти 3 двери, около каждой из которых стоит страж. Он пропускает лишь тех, кто отдаст половину монет и ещё одну. Сколько монет должен взять Аладдин из пещеры?
Ответ:
(([10 + 1] • 2 + 1) • 2 + 1) • 2 = 94 (монеты).
Задача 4.
Три учительницы — Ирина Васильевна, Дарья Михайловна и Софья Петровна — преподают различные предметы (химию, биологию и физику) в школах Минска, Львова и Курска.
Известно:
а) что Ирина Васильевна работает не в Минске, а Дарья Михайловна не во Львове;
б) что та учительница, которая живёт в Минске, преподаёт не физику;
в) что работающая во Львове учительница преподаёт химию;
г) что Дарья Михайловна преподаёт не биологию.
Какой предмет и в каком городе преподаёт каждая учительница?
Ответ:
Ирина Васильевна преподает во Львове химию, Дарья Михайловна — в Курске физику, Софья Петровна преподает в Минске биологию.
Задача 5.
Расставьте по кругу числа 14, 27, 36, 57, 178, 467, 590, 2345 так, чтобы любые два соседних числа имели одинаковую цифру.
Ответ:
Задача 6.
Четыре мальчика — Андрей, Витя, Саша и Дима — выбирают по одному мячу чёрного, синего, красного и белого цвета. Требуется узнать, какого цвета оказались у них мячи, если в каждом из следующих утверждений по крайней мере одна часть верна:
а) Андрей взял чёрный мяч, а Витя — синий;
б) Дима взял красный мяч, а Витя — чёрный;
в) Витя взял белый мяч, а Дима — синий.
Ответ:
Андрей взял чёрный мяч, Дима — красный, Витя — белый, Саша — синий мяч.